Determinazione a propri proprietà trasformata di Fourier in L2

Messaggioda Giaxy » 12/04/2019, 20:12

Buonasera a tutti,
vi scrivo perché ho alcuni dubbi riguardanti la determinazione a priori delle proprietà della trasformata di Fourier nella teoria \(L^2\)
In teoria \(L^1\) si sapeva che data \( f(x) \) continua, derivabile a tratti e tendente a 0 a \( \pm \infty \) la sua trasformata di Fuorier \( \hat{f} (\xi) \) è \( o(1/ \xi ) \) per \( xi \rightarrow \pm \infty \) esiste qualcosa di 'simile' in teoria \(L^2\) ?

La domanda nasce dal fatto che mi sono ritrovato a F-trasfomare la seguente funzione \(f(x)=x/(x^2+1)\)
Di cui di seguito è presente l'analisi a priori dal libro di testo

Immagine

non riesco a capire che legame c'è tra il fatto che la funzione sia infinitamente derivabile e che \( \hat{f} (\xi ) \) è \( o(1/ \xi^n)\) \( \xi \rightarrow \pm \infty \) . Infine mi risultano poco chiare anche le varie relazioni di inclusione che portano a dire che \( \hat{f} ( \xi ) \in L^1\)
Giaxy
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Re: Determinazione a propri proprietà trasformata di Fourier in L2

Messaggioda dissonance » 16/04/2019, 17:32

L'idea grossolana è "più \(f\) è regolare, più \(\hat f\) decade, più \(\hat f\) è regolare e più \(f\) decade". Ma questa è solo una linea guida e non un teorema preciso. Per avere un teorema bisogna integrare per parti; infatti, siccome
\[
f'(x)=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}\in L^1, \]
allora
\[
\left\lvert \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-ix\xi}\, dx \right\rvert = \left\lvert \int_{-\infty}^\infty f(x)\frac{d}{dx}\frac{e^{-ix\xi}}{-i\xi}\, dx\right\rvert =\frac{1}{|\xi|}\left\lvert \int_{-\infty}^\infty f'(x) e^{-ix\xi}\,dx\right\rvert\le\frac{\|f'\|_{L^1}}{|\xi|}, \]
ovvero,
\[
|\hat{f}(\xi)|=O(1/|\xi|), \qquad |\xi|\to \infty.\]
Siccome tutte le derivate successive sono in \(L^1\), questo processo si può ripetere indefinitamente.
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