Applicazione lineare

Messaggioda leon99 » 17/04/2019, 16:24

Salve a tutti avrei un problema di procedimento con questo esercizio, qualcuno di voi è in grado di spiegarmi il procedimento per favore, non ho idea di come si debba ragionare in questi casi.
sia $L : R^2 → R^2$ l’applicazione lineare definita dalla seguente matrice
$Mcb$ $( L )$ $((3,1),(0,2))$ ove $c$ indica la base canonica e $B = {(1, 1), (0, 2)}$. Determinare $Mbc(L)$
leon99
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Re: Applicazione lineare

Messaggioda 3m0o » 17/04/2019, 17:48

Io uso un'altra notazione, quindi magari faccio confusione o inverto il ragionamento. Ma l'idea è la medesima.
\( M cb (L) \) indica che la base dello spazio di partenza è \( C=\{(1,0),(0,1)\} \) presumo e \( B=\{(1,1),(0,2) \} \) la base dello spazio di arrivo, giusto?
L'idea è questa,

Hai questa situazione
\begin{CD}
\mathbb{R}^2, C @>Mcb(L)\cdot x>> \mathbb{R}^2,B\\
\end{CD}

E vuoi questa situazione
\begin{CD}
\mathbb{R}^2, B @>Mbc(L) \cdot x>> \mathbb{R}^2,C\\
\end{CD}



Quindi hai bisogno di una applicazione lineare che preso un vettore di \( \mathbb{R}^2\) scritto relativamente a \( C \) ti restituisce lo stesso vettore di \( \mathbb{R}^2\) scritto relativamente a \( B \). Oppure un'applicazione inversa che preso un vettore di \( \mathbb{R}^2\) scritto relativamente a \( B \) ti restituisce lo stesso vettore di \( \mathbb{R}^2\) scritto relativamente a \( C \)
Chiamiamo per il momento \( \phi^{-1} \) la prima applicazione e \( [v]_C \in \mathbb{R}^2 \) allora \( \phi^{-1}([v]_C)=[v]_B \). e chiamiamo \( \phi \) l'applicazione che \( \phi(\phi^{-1}([v]_C))=\phi([v]_B)=[v]_C \).
Qual'è più precisamente questa applicazione? Semplicemente l'appicazione identità. \( \phi= id \) e \( \phi^{-1} = id \).
Perché abbiamo bisogno di questa applicazione? Supponiamo che \( L([v]_C)=[w]_B \), se hai un vettore \( [v]_B \) e ci vuoi applicare \( L \) devi prima convertirlo nello stesso vettore \( [v]_C \) relativamente a \( C \), perché la tua applicazione \( L \) prende un vettore scritto nella base canonica. Quindi applichi \( (L \circ id)([v]_B)=L(id([v]_B))=L([v]_C)=[w]_B \)
Però tu volevi un vettore che ti restituito nella base \( C \) e non nella base \( B \). Applichiamo nuovamente la funzione \( id \) \( (id \circ L \circ id)([v]_B) =[w]_C \) questa è la tua applicazione. Ora vuoi la matrice.
Quindi ti basta calcolare le matrici \( M bc (id) \) e ottieni la tua matrice \( M bc (L) = Mbc(id) Mcb(L) Mbc(id) \)
Perché? Basta avere in mente questo schema:
Ci arrivi seguendo questo schema:
\begin{CD}
\mathbb{R}^2, B @>Mbc(id) \cdot x>> \mathbb{R}^2, C @>Mcb(L) \cdot x>> \mathbb{R}^2,B @>Mbc(id) \cdot x>> \mathbb{R}^2, C\\
\end{CD}


\begin{CD}
\mathbb{R}^2, C @>Mcb(L)>> \mathbb{R}^2,B\\
@VV \phi^{-1} V @VV \phi V\\
\mathbb{R}^2, B @>Mbc(L)>> \mathbb{R}^2, C
\end{CD}
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Re: Applicazione lineare

Messaggioda leon99 » 18/04/2019, 11:43

si ho capitooo!! grazie milleee
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