Argomento di un numero complesso

Messaggioda tetravalenza » 17/04/2019, 19:37

Ciao, un esercizio chiede di scrivere il seguente prodotto
$$
(2-7i)(5+3i)
$$
in forma trigonometrica. Se svolgo prima il prodotto ottengo un modulo davvero grande e non so come determinare l'argomento del numero complesso tramite l'arcotangente, non essendo il suo argomento quello di angoli "noti".
$$
\arctan(\frac{31}{\sqrt{1802}})
$$
D'altra parte se cerco la formula trigonometrica dei singoli fattori mi ritrovo comunque argomenti di angoli non noti. Come si deve procedere? Ho guardato tra gli esercizi svolti di Matematicamente ma non ce ne sono con l'uso dell'arcotangente di angoli.
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Re: Argomento di un numero complesso

Messaggioda spugna » 18/04/2019, 01:54

Non devi per forza calcolare il modulo: la tangente dell'argomento è il rapporto tra parte immaginaria e parte reale, quindi nel tuo caso si trova che il prodotto è $31-29i$ e che quindi l'argomento è $\arctan(-29/31)$.
tetravalenza ha scritto:\[ \frac{31}{\sqrt{1802}} \]

Questo è il rapporto tra parte reale e modulo, cioè il coseno dell'argomento, quindi equivalentemente si può dire che l'argomento è $-arccos( \frac{31}{\sqrt{1802}})$ (il segno $-$ è dovuto al fatto che il numero in questione giace nel quarto quadrante).

Se invece vuoi arrivarci a partire dagli argomenti dei due fattori basta usare le formule di addizione per le funzioni trigonometriche: se ad esempio lavori con le tangenti, puoi usare

\[ \tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta}\]

dove $\alpha$ e $\beta$ sono gli argomenti dei due fattori. Nel tuo caso le tangenti di tali angoli sono $-7/2$ e $3/5$, e sostituendo nella formula di addizione viene proprio $-29/31$.
$2019=phi^15+phi^13+phi^10+phi^4+phi^2+phi^0+phi^(-2)+phi^(-4)+phi^(-11)+phi^(-16)$
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Re: Argomento di un numero complesso

Messaggioda tetravalenza » 18/04/2019, 10:09

spugna ha scritto:Non devi per forza calcolare il modulo: la tangente dell'argomento è il rapporto tra parte immaginaria e parte reale, quindi nel tuo caso si trova che il prodotto è $31-29i$ e che quindi l'argomento è $\arctan(-29/31)$.


Ciao, quindi nella formula trigonometrica generica $\rho(cos(\theta)+i\sin(\theta))$ al posto di $\theta$ si può scrivere $\arctan(-\frac{19}[31})$ senza calcolarne l'angolo? Al posto di $\rho$ sostituisco $\sqrt{1802}$.
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