Esercizio su parametrizzazione in piano complesso

Messaggioda handuup » 17/05/2019, 16:02

Salve.
Devo parametrizzare le seguenti curve:
a) circonferenza di centro i e raggio R e percorsa 2 volte in senso orario.
b) il quadrato di centro 0 e lato uguale a 2 percorso in senso antiorario
Infine devo calcolare l'integrale usando la definizione di integrale : $ int 1/z $ su $ gamma $ [1-i,1+i,-1+i,-i-1,1-i]
Allora io ho parametrizzato la circonferenza in questo modo: $ gamma $ = $ i+Re^(2pi-t) $ con t da 0 a 4 pigreco.
La seconda curva( il quadrato) l'ho diviso in 4 segmenti : $ gamma_1 $ = 1-i+ti con t da 0 a 2
$ gamma_2 $= i+1-t t da 0 a 2. $ gamma_3 $= -1+i-it con t da 0 a 2. $ gamma_4 $= -1-i+t t da 0 a 2.
L'integrale dovrebbe venire $ 2pii $ ma a me esce 0( ho usato la parametrizzazione che ho scritto sopra).
Cosa ho sbagliato?
Grazie
handuup
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Re: Esercizio su parametrizzazione in piano complesso

Messaggioda Quinzio » 24/05/2019, 20:30

Cosa hai sbagliato non lo possiamo sapere perche' non hai scritto la tua soluzione. :D
Ti faccio l'integrale su un tratto.
Devi fare attenzione al differenziale "$dz$", che vedo che hai tralasciato nella scrittura dell'integrale.
Ma e' molto importante ed e' sempre bene esplicitarlo per non incorrere in banali dimenticanze.

$\int_{1-j}^{1+j} 1/z dz = \int_{-1}^{1} 1/(1-tj) jdt$

dove ho usato la parametrizzazione $z(t) = 1+tj$.
Si prosegue con

$j\int_{-1}^{1} 1/(1-tj) dt = $

$j\int_{-1}^{1} (1+tj)/(1+t^2) dt = $

$j\int_{-1}^{1} 1/(1+t^2) dt - \int_{-1}^{1} t/(1+t^2) dt = $

Ora, il secondo integrale e' chiaramente zero, in quanto e' funzione dispari con estremi di integrazione uguali ed opposti.

Nel primo integrale si riconosce la derivata dell'arcotangente, e quindi:

$j\int_{-1}^{1} 1/(1+t^2) j dt = $

$j\ arctan(t)|_{-1}^{+1} = j \pi / 2$

Per gli altri 3 tratti il procedimento e' del tutto simile.
Quinzio
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