Taylor su $h$ smooth

Messaggioda mobley » 17/05/2019, 17:35

Ho la seguente quantità: $A=lim_(\Deltat->0)1/(\Deltat)\int_(RR)P(z,t|x)\int_(RR)P(y,\Deltat|x)[h(y)-h(z)]dydz$ con $h$ liscia su un insieme chiuso e limitato e $P$ densità di transizione. Approssimando con Taylor $h(y)$ nell'intorno di $z$ si ha
$A=\int_(RR)P(z,t|x)\sum_(n=1)^(\infty)[1/(n!)lim_(\Deltat->0)1/(\Deltat)\int_(RR)P(y,\Deltat\x)(y-z)^n dy]h^((n))(z)dz$
dove la quantità in parentesi la chiamo $D^((n))(z)$. Quindi $A=\int_(RR)P(z,t|x)\sum_(n=1)^(\infty)D^((n))(z)h^((n))(z)dz$.

Come interpreto quella somma? Teoricamente dovrebbe una somma infinita di derivate ma non saprei come riscriverla, data anche la sua presenza sotto il segno di integrale...

Avete qualche suggerimento?
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Re: Taylor su $h$ smooth

Messaggioda mobley » 18/05/2019, 12:11

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Re: Taylor su $h$ smooth

Messaggioda dissonance » 21/05/2019, 16:17

Mi sembra che, a parte tutti gli inutili dettagli tecnici che inserisci sempre nelle tue domande (è per questo che ultimamente non ti risponde nessuno), tu stia chiedendo: in che senso converge la serie in
\[
h(y)-h(z)=\sum_{n\ge 0}h^{(n)}(z)\frac{(y-z)^n}{n!}\ ?\]
La risposta è: in genere, non converge affatto. Se \(h\) è analitica, allora converge uniformemente per \(y\) sui compatti di \(\mathbb R\).

Cerca di porre domande più sintetiche. Togli di mezzo tutti i tecnicismi e vieni al sodo.
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Re: Taylor su $h$ smooth

Messaggioda gugo82 » 21/05/2019, 16:45

A parte quel che dice dissonance, mi pare ci sia un problema: se la $y$ è una variabile di integrazione libera di variare in $RR$ indipendentemente da $z$, che senso ha approssimare $h(y)$ intorno a $z$?
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: Taylor su $h$ smooth

Messaggioda mobley » 22/05/2019, 12:32

Grazie ad entrambi per la risposta. Come avrete avuto modo di capire non sono un matematico, ma per ciò di cui mi occupo molto spesso mi trovo ad operare con il calcolo integrale o processi stocastici. Quindi quelli che per voi sono inutili "orpelli tecnici" io preferisco sempre metterli perché potrebbero essere importanti per voi, matematici, per capire meglio i miei dubbi.

Tornando in tema, il mio obbiettivo è derivare l'equazione di Fokker-Planck nel caso unidimensionale. Ovvero a dire, devo ottenere $(\partial P(z,t|x))/(\partial t)$. La dimostrazione termina con $(\partial P(z,t|x))/(\partial t)=\sum_(n=1)^(\infty) (-\partial/(\partial z))^n[D^((n))(z)P(z,t|x)]$, e il docente assumendo che $D^((1))(z)=b$,che $D^((2))(z)=\sigma/2$ e che $D^((n))(z)=0, \forall n>=3$ ottiene l'equazione voluta.

Il problema nasce dal l'interpretazione di quella quantità sotto sommatoria, che il docente afferma essere una infinita somma di derivate. Ne seguirebbe una infinita somma di integrali e, di conseguenza, l'applicazione iterata $n$ volte dell'integrazione per parti. Solo non capisco perché nel passaggio successivo riesce a portare $h(z)$ fuori dalla sommatoria e $P(z,t|x)$ in parentesi a moltiplicare $D^((n))(z)$.

Sono proprio i passaggi matematici a mettermi in difficoltà.
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Re: Taylor su $h$ smooth

Messaggioda dissonance » 23/05/2019, 06:53

Secondo me questi sono conti "formali", come si dice in matematica. Significa che uno calcola senza preoccuparsi di questioni di convergenza. L'obiettivo è derivare una equazione, in un modo o nell'altro. Poi si passa a studiare questa equazione.
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Re: Taylor su $h$ smooth

Messaggioda mobley » 23/05/2019, 09:36

dissonance ha scritto:Secondo me questi sono conti "formali", come si dice in matematica. Significa che uno calcola senza preoccuparsi di questioni di convergenza. L'obiettivo è derivare una equazione, in un modo o nell'altro. Poi si passa a studiare questa equazione.

Grazie ancora per la risposta dissonance. Potresti spiegarti meglio cosa intendi per "conti formali"? A lezione spiega la ragione di ogni passaggio ma nonostante le sbobinature ci sono passaggi non chiari (magari dando per scontato alcune conoscenze matematiche o semplicemente perché, scrivendo, la registrazione diventa inutile). Tu come interpreteresti quella quantità?
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Re: Taylor su $h$ smooth

Messaggioda dissonance » 23/05/2019, 09:45

Non lo so, sono passati degli anni dall'ultima volta che ho visto queste cose.

"Conti formali" significa, come ho già detto: "non starti a preoccupare di questioni di convergenza". Fai finta che tutte le serie convergano, che tutte le sommatorie infinite si possano scambiare con gli integrali, eccetera eccetera.

Lì, per esempio, secondo me la cosa è più semplice di come la stia pensando tu. Quella \(P(z, t|x)\), che non mi ricordo minimamente cosa sia (e non ho intenzione di scoprirlo), sembra proprio una specie di operatore che agisce su funzioni della \(x\). Quindi forse vale qualcosa del genere;
\[\tag{FORSE}
P(z, t|x)(h(y)-h(z))=P(z, t|x)\sum_{n=0}^\infty h^{(n)}(z)(y-z)^n/n!)\sum_{n=0}^\infty h^{(n)}(z)/n!\ P(z, t|x)(y-z)^n.\]

Cerca su un buon libro. Sbobinature, appunti, sono tutte cose che lasciano il tempo che trovano, e in rete si trovano pdf di tutto, ormai. Che libro ha consigliato il docente?
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