Algebra, gruppi

Messaggioda Smon97 » 17/05/2019, 18:54

Salve ho questo esercizio:

a) verificare che
$G={((a,b),(0,1)) : a,b \inZZ_5, a!=0}$
è un sottogruppo di ordine 20 di $GL_2(ZZ_5)$ rispetto al prodotto righe per colonne e determinarne il centro.

b) provare che M ha un unico sottogruppo normale di N di ordine 5 e determinarlo.

c) provare che $G/N~=(ZZ_5^*, .) $ e determinare tale isomorfismo esplicitamente

Ho difficoltà per quanto riguarda calcolare i sottogruppi di ordine 20. come posso fare? che teorema posso applicare?
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Re: Algebra, gruppi

Messaggioda Smon97 » 17/05/2019, 19:34

ho provato a procedere così:

a) G sottogruppo se:
$((a,b),(0,1)) ((a',b'),(0,1)) = ((aa',ab'+b),(0,1)) \inG$
poichè a può assumere come valori 1,2,3,4 e b può assumere come valori 0,1,2,3,4
$|G|=ab=5*4=20$

CENTRO
$((a,b),(0,1)) ((x,y),(0,1)) = ((x,y),(0,1)) ((a,b),(0,1))$

svolgendo i prodotti righe per colonna della matrice arrivo a questo sistema
$\{(ax=xa),(ay+b=xb+y):}$

da cui $a!=0$ quindi per $b=0 \to ay=y \to a=1$
per cui il centro è $((1,0),(0,1))$

b) poichè $|G|=20=2^2*5$
per Sylow esiste un 5-sottogruppo di ordine 5 tale che

$r_5=1+5n r_5|20 =>r_5=1$
esiste un unico sottogruppo normale N di ordine 5.
- Come lo determino? il punto c come si fa?
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Re: Algebra, gruppi

Messaggioda jinsang » 18/05/2019, 01:48

Come lo determino?


Prova a vedere cosa succede se consideri

$<((1, 1),(0, 1))>$
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Re: Algebra, gruppi

Messaggioda Smon97 » 18/05/2019, 10:29

Cioè? Non ho capito bene cosa devo fare..
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Re: Algebra, gruppi

Messaggioda jinsang » 18/05/2019, 12:29

Calcola le potenze di $((1,1),(0,1))$
Generalmente si indica con $<x> ={x^n|n in \mathbb{Z}}$ e si parla di sottogruppo ciclico generato da $x$ (verifica che questo è in generale un sottogruppo, se non l'hai già fatto).
Nel tuo caso otterrai ${((1,1),(0,1)),((1,1),(0,1))^2,...}$(lascio i conti a te) e per un certo esponente riotterrai l'elemento neutro del gruppo (cioè $((1,0),(0,1))$) perché il tuo gruppo è finito, quindi non puoi trovare infinite potenze diverse.
Qual è questo certo esponente?
A cosa è isomorfo questo sottogruppo che hai trovato?
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