Diviso $11$

Messaggioda axpgn » 06/06/2019, 23:59

Dimostrare che il numero $5^(5k+1)+4^(5k+2)+3^(5k)$ è sempre divisibile per $11$ per ogni $k$ naturale.

Cordialmente, Alex
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Re: Diviso $11$

Messaggioda Settevoltesette » 09/06/2019, 17:07

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Per induzione è facilmente risolvibile
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Re: Diviso $11$

Messaggioda giammaria » 10/06/2019, 11:13

settevoltesette, ne sei sicuro? A me non sembra. ma forse tu hai fatto un ragionamento che mi sfugge ed allora ti prego di scriverlo. La mia soluzione è completamente diversa ma per ora non la mando
- Indicando i metri con m e i centimetri con cm, si ha m=100 cm. Quindi 5 centimetri equivalgono a metri m=100*5=500.
- E' disonesto che un disonesto si comporti in modo onesto (R. Powell)
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Re: Diviso $11$

Messaggioda totissimus » 10/06/2019, 12:39

Settevoltesette ha ragione
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
$a_{k}=5^{5k+1}+4^{5k+2}+3^{5k}$

$a_{0}=22$

$a_{k+1}=5^{5}5^{5k+1}+4^{5}4^{5k+2}+3^{5}3^{5k}=5^{5}a_{k}-(5^{5}-4^{5})4^{5k+2}-(5^{5}-3^{5})3^{5k}=$

$5^{5}a_{k}-(2101)4^{5k+2}-(2882)3^{5k}$

2101 e 2882 sono divisibili per 11


La soluzione di giammaria immagino usi l'aritmetica modulare.
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Re: Diviso $11$

Messaggioda Settevoltesette » 10/06/2019, 16:48

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
5^5, 4^5, 3^5 sono tutti e tre nella forma 11k+1 ed allora ti rifai al caso precedente
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Re: Diviso $11$

Messaggioda giammaria » 10/06/2019, 17:00

totissimus ha scritto:La soluzione di giammaria immagino usi l'aritmetica modulare.

Immagini bene; poiché però l'aritmetica modulare non è nel programma delle secondarie, l'ho scimmiottata col ragionamento che avrei fatto al liceo.
- Indicando i metri con m e i centimetri con cm, si ha m=100 cm. Quindi 5 centimetri equivalgono a metri m=100*5=500.
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Re: Diviso $11$

Messaggioda axpgn » 10/06/2019, 18:18

@Settevoltesette
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
D'accordo che $5^5, 4^5, 3^5$ danno come resto $1$ ma che significa la frase "ed allora ti rifai al caso precedente" ?
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Re: Diviso $11$

Messaggioda Settevoltesette » 10/06/2019, 18:38

Fissato k allora k+1 si può riscrivere come:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
\(\displaystyle 5^5*5^(5k+1) + 4^5*4^(5k+2) + 3^5 *3^(5k) \)
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Re: Diviso $11$

Messaggioda axpgn » 10/06/2019, 18:59

Ok, ma va dimostrato che quello è divisibile per undici …
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Re: Diviso $11$

Messaggioda Settevoltesette » 10/06/2019, 19:00

Passo base k=0
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