Re: Diviso $11$

Messaggioda axpgn » 10/06/2019, 19:03

Intendo quell'espressione sotto spoiler nel tuo penultimo post; non è "automatico" che quella sia divisibile per undici, devi dimostrarlo (come ha fatto totissimus che l'ha riscritta in un altro modo)
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Re: Diviso $11$

Messaggioda Settevoltesette » 10/06/2019, 19:15

Non capisco se sto sbagliando qualcosa o se non riesco a spiegarmi, perché mi sembra veramente una banalità la questione...

Provo a spiegarmi passo passo

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
\(\displaystyle 5^(5k+1) + 4^(5k+2) + 3^(5k) \)

Passo base pongo \(\displaystyle k = 0 \)

\(\displaystyle 5 + 4^2 + 1 = 22 \) ok

Suppongo vera per k dimostro la verità per k+1


\(\displaystyle 5^(5k +5 +1) + 4^(5k+5+2) + 3^(5k+5) = 5^5*5^(5k+1) +4^5*4^(5k +2) +3^5 *3^(5k) = (11h +1)*5^(5k+1) + (11g + 1)*4^(5k+2) +(11f +1)* 3^(5k)\)

Mi ritrovo con la stessa forma del caso con k (caso precedente) ma ho in più dei fattori tutti multipli di 11.
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Re: Diviso $11$

Messaggioda axpgn » 10/06/2019, 19:27

Adesso sì che lo hai dimostrato :D
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Re: Diviso $11$

Messaggioda Erasmus_First » 21/08/2019, 14:07

axpgn ha scritto:Dimostrare che il numero $5^(5k+1)+4^(5k+2)+3^(5k)$ è sempre divisibile per $11$ per ogni $k$ naturale.
Arrivo con 3 mesi abbondanti di ritardo ... ma voglio dire anch'io la mia (scegliendo volutamente di essere terra-terra, comprensibile anche a chi è rimasto al livello martematico della 1ª media) . :D
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
• [5^5] = 3125 = 11·284 + 1 ––> Il resto della divisione di $5^(5k)$ per 11 vale 1 per ogni k naturale.
Pertanto il resto della divisione di $5^(5k+1)$ per 11 è lo stesso di quello di 5 : 11, ossia vale 5 per ogni k naturale.

• [4^5] = 1024 = 11·93 + 1 ––> Il resto della divisione di $4^(5k)$ per 11 vale 1 per ogni k naturale.
Pertanto il resto della divisione di $4^(5k+2)$ per 11 è lo stesso di quello di 16 : 11, ossia vale 5 per ogni k naturale.

• [3^5] = 243 = 11·22 + 1 ––> Il resto della divisione di $3^(5k)$ per 11 vale 1 per ogni k naturale.

Pertanto il resto della divisione per 11 di $5^(5k+1) + 4^(5k+2) + 3^(54) $ 1 è lo stesso di quello di
(5 + 5 + 1) : 11,
che vale 0 (che significa che $5^(5k+1) + 4^(5k+2) + 3^(54)$ è divisibile per 11 per ogni k naturale).

––––––––
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Re: Diviso $11$

Messaggioda axpgn » 21/08/2019, 14:13

Ok, :smt023
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