### Estensioni e cocompletamenti liberi

Mi sono accorto che c'è gente che non sa questa cosa. Dimostràtela.

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Let $$\mathcal{C}$$ be a small category, $$\mathcal{A}$$ a cocomplete category; then, precomposition with the Yoneda embedding $$y_{\mathcal{C}} : \mathcal{C} \to \widehat{\mathcal{C}}$$ determines a functor
$\textsf{Cat}(\widehat{\mathcal{C}}, \mathcal{A})\xrightarrow{\_\circ y_{\mathcal{C}}} \textsf{Cat}(\mathcal{C},\mathcal{A}).$
• The universal property of the category $$\widehat{\mathcal{C}}$$ amounts to the existence of a left adjoint $$L_y$$ to the above functor, that has invertible unit (so, the left adjoint is fully faithful).
This means that $$\textsf{Cat}(\mathcal{C},\mathcal{A})$$ is a full subcategory of $$\textsf{Cat}(\widehat{\mathcal{C}}, \mathcal{A})$$.
• The essential image of $$L_y$$ consists of those $$F : \widehat{\mathcal{C}} \to \mathcal{A}$$ that preserve all colimits.
• If $$\mathcal{A} = \widehat{\mathcal{D}}$$, this essential image is equivalent to the subcategory of left adjoints $$F : \widehat{\mathcal{C}} \to \widehat{\mathcal{D}}$$. caulacau
Junior Member Messaggio: 45 di 233
Iscritto il: 08/05/2019, 18:30

### Re: Estensioni e cocompletamenti liberi

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Mi chiedo come mai siano deserte queste discussioni... In Italia la teoria delle categorie fa paura? Oppure è una cosa generale? Leggo che piano piano questa teoria sta prendendo piede... Forse troppo piano? O quelli che credono ciò ci credono perché sono loro? Perché? C'è un problema di comunicazione? Forse sì. Il problema è serio. Come si può ovviare? È inutile allo stato attuale dell'arte sperare che qualcuno sorga dagli abbissi e risolva questo tipo di esercizi... Come si può fare? Forse cominciare da zero: aprire delle discussioni, partire dalle cose più semplici, mostrare la potenza di questo linguaggio e di questa parte della logica? Non so come si possa mettere in piedi questa cosa... Poi questo caldo non aiuta... Poi prendimi a malo modo, ma si potrebbe azzardare.
Io non sono uomo, sono dinamite. ~ Nietzsche Indrjo Dedej
Average Member Messaggio: 716 di 807
Iscritto il: 31/05/2016, 19:58
Località: Milano

### Re: Estensioni e cocompletamenti liberi caulacau
Junior Member Messaggio: 92 di 233
Iscritto il: 08/05/2019, 18:30

### Re: Estensioni e cocompletamenti liberi

Hint: la parola chiave da cercare per chi si volesse cimentare con l'esercizio è left Kan extension...

Prima di tornare negli abissi vorrei dire che in Italia è pieno di gente che sa queste cose, che non sono niente di esoterico e anzi sono nozioni fondamentali (l'esercizio proposto tornerà prima o poi utile a chiunque lo faccia); e la retorica proposta nel video mi pare veramente spicciola.
Ancona
Starting Member Messaggio: 14 di 42
Iscritto il: 18/07/2019, 17:17

### Re: Estensioni e cocompletamenti liberi

in Italia è pieno di gente che sa queste cose

Eh, bum purtroppo non è così (oppure, fammi in privato i nomi delle persone cui ti riferisci). caulacau
Junior Member Messaggio: 164 di 233
Iscritto il: 08/05/2019, 18:30

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