W = p(x) appartenente a R3[x] t.c. p(-2)=p(1)=p(0)

Messaggioda espanigo » 12/06/2019, 21:09

Sia W= p(x) appartenente a R3[x] t.c. p(-2)=p(1)=p(0)
1) Utilizzando la definizione di sottospazio, si stabilisca se W è un sottospazio di R3[x] e in caso affermativo se ne determini una base;
2) Si determinino, se possibile, 3 vettori lin. indipendenti che NON appartengono a W.

Buonasera, mi stavo imbattendo su questa tipologia di esercizi. Ho un dubbio in questo caso:
da quel che so affinchè uno spazio vettoriale sia sottospazio deve possedere le tre condizioni: vettore nullo app. a W, W deve essere chiuso rispetto alla somma tra vettori e al prodotto tra costanti. Il dubbio in questo esercizio sta sostanzialmente nella somma tra vettori perchè non capisco se i vettori che devono seguire questa condizione (p(-2)=p(1)=p(0)) tra p(-2) e p(1), per esempio, debbano avere le stesse costanti oppure possono avere costanti differenti in base al polinomio.
Es: p(-2) = -8 a0 + 4 a1 -2 a2 + a3 ;
p(1) = b0 + b1 +b2 + b3.
Cioè i rispettivi a e b (costanti) sono uguali? Inoltre se mi aiutaste nello svolgimento di tale esercizio, con tanto di passaggi, ve ne sarei grato. Grazie!
espanigo
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Re: W = p(x) appartenente a R3[x] t.c. p(-2)=p(1)=p(0)

Messaggioda gugo82 » 13/06/2019, 15:28

Certo che sono gli stessi!

Stai prendendo un polinomio generico $p(x) = a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$ e stai imponendo le due condizioni $p(-2) = p(0)$ e $p(1) = p(0)$.
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