Verifica sottoinsieme sottoanello di un Anello ma non ideale

Messaggioda AAnto » 14/06/2019, 09:54

Ciao,
quasi mi vergogno a scriverlo, ma ho un problema su questo esercizio.
Allora

Esercizio
Sia $(A,+,*)$ l'Anello di $Z x Z$ e sia $S \subseteq A$ così definito:
$S = {(x,y) \in A , 3|x-y}$

1) Provare $S$ sotto Anello di $A$
2) Provare $S$ non è ideale di $A$

mie idee..
Parte prima.
Per una caratterizzazione posso affermare che $(S, +, *)$ è sotto Anello di $(A, +, *)$ se $(S,+)$ sotto gruppo di $(A,+)$ moltiplicativamente chiuso.

Ovvero dovrei provare l'associatività, esistenza del neutro e dell'inverso per ogni elemento. Ma non riesco a farlo per come è scritto $S$. Potreste indirizzarmi?

Parte seconda.
Sicuramente credo che dovrei fare vedere che non vale la proprietà "assorbente" dell'Ideale di un Anello.


Grazie a chi può aiutarmi
AAnto
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Re: Verifica sottoinsieme sottoanello di un Anello ma non ideale

Messaggioda caulacau » 14/06/2019, 10:41

$S$ è l'insieme delle coppie di interi tali che la loro differenza è un multiplo di 3.

Suppongo che \(\mathbb Z \times \mathbb Z\) sia l'anello prodotto e che quindi la somma e la moltiplicazione si facciano sulle componenti e non in altra maniera (la proprietà universale di \(\mathbb Z \times \mathbb Z\) sarebbe in quel caso diversa).

In tal caso, l'associatività (di $+$ e $\times$), l' esistenza di un elemento neutro (per $+$) e dell'inverso per ogni elemento (per $+$) seguono su $S$ dal fatto che queste proprietà sono vere su $A$ (prendi la contronominale: se esistessero $a,b,c$ tali che $(ab)c \neq a(bc)$ in $S$, allora questo sarebbe vero in $A$, che allora non sarebbe un anello).

Allora, quel che devi dimostrare è che se $(a,b), (c,d) : S$ si ha $(a+c, b+d) : S$ e $(ac, bd) : S$. Ciò significa dimostrare che se $b-a = 3h, d-c=3k$, allora $(b+d) - (a+c)$ è anch'esso multiplo di 3; questo mi sembra ovvio, così come mi sembra ovvia la stessa proprietà per il prodotto.

Per dimostrare che $S$ non è un ideale, imponi che $(a,b)(x,y)$ stia in $S$ per $(x,y) : S$; viene fuori che $(b-a)x = 3(n-bk)$ se $y-x=3k$ e $by-ax=3n$. Del resto questo implica (dato che 3 è primo) che esso divide $b-a$ (e allora $(a,b) : S$), oppure divide $x$ (e allora l'elemento $(x,y) : S$ non è qualsiasi). In ambo i casi, affinché $(a,b)(x,y) : S$ serve si verifichi una condizione non banale, sicché $S$ non può essere un ideale.
caulacau
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