Polinomio minimo su un'estensione di Q

Messaggioda AAnto » 14/06/2019, 16:14

Ciao,
ho il seguente esercizio.

Determinare il polinomio minimo di $a := \sqrt(5) + root(3)(2)$ su $Q(root(3)(2))$.

Svolgimento.
Il polinomio minimo di $a$ su $Q(root(3)(2))$ è $f(x) = x^2 - 2root(3)(2)x + root(3)(4) - 5$.

Infatti $f$ monico e si annulla in a per costruzione.

Non potendo controllare l'irriducibilità in un'estensione di $Q$, si osserva che, per la regola della catena sono valide le seguenti scritture:

$[Q(a) : Q] = [Q(a) : Q(root(3)(2))] * [Q(root(3)(2)) : Q]$ $*$
e allo stesso modo
$[Q(a) : Q] = [Q(a) : Q(root(2)(5))] * [Q(root(2)(5)) : Q]$

E' facile osservare che $[Q(root(3)(2)) : Q] = 3$ e $[Q(root(2)(5)) : Q] = 2$.

Affermo che $[Q(a) : Q] <= 6$, infatti lavorando algebricamente su a, trovo il polinomio $h(x) = (x^3 + 15x - 2)^2 - 5(5 + 3x^2)^2 = 0$
osservo che tale polinomio è monico, si annulla in a.
Pertanto osservo che
$2 | [Q(a) : Q]$
$3 | [Q(a) : Q]$
e poiché $(2,3) = 1$, evidentemente $6 = 2 * 3 | [Q(a) : Q]$.
Pertanto poiché il grado deve essere al più 6 e 6 divide il grado, segue che $[Q(a) : Q] = 6$.

Ora da $*$ posso affermare che $6 = [Q(a) : Q(root(3)(2))] * 3$, quindi $[Q(a) : Q(root(3)(2))] = 2$.

Da ciò posso dedurre che il polinomio $f$ è proprio il polinomio minimo di $a$ su $Q(root(3)(2))$

Quanto può andare?
Ci sarebbe un modo migliore?
AAnto
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Re: Polinomio minimo su un'estensione di Q

Messaggioda AAnto » 15/06/2019, 23:04

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Messaggioda j18eos » 16/06/2019, 11:07

Posto \(\displaystyle\mathbb{F}=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\), si ha che:
\[
(\sqrt{5}+\sqrt[3]{2})^2=5+\sqrt[3]{4}+2\sqrt{5}\sqrt[3]{2}\in\mathbb{F}(\sqrt{5})\\
(\sqrt{5}+\sqrt[3]{2})^2-5+\sqrt[3]{4}+2\sqrt{5}\sqrt[3]{2}=0\\
(\sqrt{5}+\sqrt[3]{2})^2-5+2\sqrt[3]{4}+2\sqrt{5}\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4}=0\\
(\sqrt{5}+\sqrt[3]{2})^2-5+2\sqrt[3]{2}(\sqrt[3]{2}+\sqrt{5})-\sqrt[3]{4}=0\\
f(x)\in\mathbb{F}[x],\,f(x)=x^2+2\sqrt[3]{2}x-5-\sqrt[3]{4}.
\]
C'è un piccolo errore nel calcolo del polinomio minimo ;)
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Re: Polinomio minimo su un'estensione di Q

Messaggioda AAnto » 16/06/2019, 11:45

Grazie..
Ma per il resto va bene?
Il ragionamento intendo
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Messaggioda j18eos » 16/06/2019, 14:22

Essendo \(\displaystyle|\mathbb{Q}(a):\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})|=2\), per quanto dimostrato prima; ed essendo (quasi) banale che \(\displaystyle|\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}|=3\), si ha sùbito che \(\displaystyle|\mathbb{Q}(a):\mathbb{Q}|=6\).

Il tutto, senza fare giri strani... Oppure ricordo male?
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