Re: Esercizio d'esame analisi 1.

Messaggioda gabriella127 » 14/07/2019, 12:54

Hai ragione.
"Per consolarti, o povera anima mia, ripeti:
il quadrato costrutto sovra l'ipotenusa
è la somma di quelli fatti su i due cateti".
(Ernesto Ragazzoni)
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Re: Esercizio d'esame analisi 1.

Messaggioda 3m0o » 14/07/2019, 14:58

obnoxious ha scritto:Prendi la funzione \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definita da \[ x \mapsto \begin{cases} 1/x^2 & \text{se } x \in \mathbb{N} \setminus \{0 \} \\ 0 & \text{altrimenti.} \end{cases} \]E' chiaro che \[ \sup_{A \in \mathcal{P}} \sum_A |f(x)| < \infty; \]tuttavia \( x \in \mathcal{A}_n \) se e solo se \( x^2 < n \) e sse \( x < \sqrt{n} \) e quindi \( a_n=\# (\mathcal{A}_n) = \lfloor\sqrt{n} \rfloor \) che è illimitata.

Grazie, effettivamente hai ragione!

3m0o ha scritto:Dunque forzatamente \( M:= \sup\limits_{n \in \mathbb{N}} a_n < + \infty \) altrimenti avrei
\[ +\infty= \sum\limits_{k= n}^{\infty} \frac{1}{k} \leq \sup\limits_{n \in \mathbb{N}} \sum\limits_{x \in \mathcal{A}_n} \frac{1}{n} \leq \sup\limits_{n \in \mathbb{N}} \sum\limits_{x \in \mathcal{A}_n} f(x) < + \infty \]
Che è un assurdo

Quindi l'errore nel mio ragionamento qui sopra sta nel fatto che a priori potremmo avere che il \( \sup_{n \in \mathbb{N}} a_n\) e dunque \( \sup\limits_{n \in \mathbb{N}} \sum\limits_{x \in \mathcal{A}_n} \frac{1}{n} \) è raggiunto con \( n \to \infty \) e quindi l'oggetto \( \lim\limits_{ n \to \infty } \sum\limits_{k= n}^{\infty} \frac{1}{k} \) potremmo non saperlo trattare? E se non è il caso qual'è l'errore nel ragionamento sopra?

gabriella127 ha scritto:In effetti avevo letto male la sommatoria.
Resta che l'esercizio è strano per un esame di analisi 1.

Perché lo ritieni strano come esercizio d'esame?
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Re: Esercizio d'esame analisi 1.

Messaggioda anto_zoolander » 14/07/2019, 15:20

Penso che l’errore possa stare nel fatto che non hai considerato la stima $(a_n)/nleq lambda$
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Re: Esercizio d'esame analisi 1.

Messaggioda gabriella127 » 14/07/2019, 15:32

@ 3m0o Trovo questo esercizio un po' strano perché mi sembra un esercizio poco standard in un primo esame di analisi.
Quando a suo tempo ho fatto il corso di analisi 1 (a matematica) agli studenti (ed erano bravi) mi sa che gli sarebbe venuto un colpo a vedere questo esercizio al primo esame.
Anche perché chiedere se è vero o falso, invece di dire 'dimostrate' e basta complica, può far perdere un sacco di tempo nel dubbio.
Pure voi ci avete messo un po' a risolverlo. All'esame sarebbe stato peggio, uno lì caso mai non ha la calma.
Però dipende da cosa si è fatto al corso, se al corso hanno visto cose simili è diverso.
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Re: Esercizio d'esame analisi 1.

Messaggioda 3m0o » 14/07/2019, 16:09

anto_zoolander ha scritto:Penso che l’errore possa stare nel fatto che non hai considerato la stima $(a_n)/nleq lambda$

Ok grazie, ci penserò!
gabriella127 ha scritto:@ 3m0o Trovo questo esercizio un po' strano perché mi sembra un esercizio poco standard in un primo esame di analisi.
Quando a suo tempo ho fatto il corso di analisi 1 (a matematica) agli studenti (ed erano bravi) mi sa che gli sarebbe venuto un colpo a vedere questo esercizio al primo esame.
Anche perché chiedere se è vero o falso, invece di dire 'dimostrate' e basta complica, può far perdere un sacco di tempo nel dubbio.
Pure voi ci avete messo un po' a risolverlo. All'esame sarebbe stato peggio, uno lì caso mai non ha la calma.
Però dipende da cosa si è fatto al corso, se al corso hanno visto cose simili è diverso.

Okay, chiedevo perché effettivamente quello era il mio esame di analisi 1 e, almeno a me, è venuto un colpo a vedere questo esercizio, anche se l'ho trovato molto bello e interessante. Su 19 problemi ordinati in modo crescente di difficoltà 16 erano "se vero dimostra, se falso contro-esempio". Al di là di tutto il tempo stringeva perché a voleri risolvere tutti avrei avuto circa 9 minuti ad esercizio, questo esercizio in 9 minuti non sarei mai riuscito a farlo, non sono riuscito in 2 giorni figurati... :-D
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Re: Esercizio d'esame analisi 1.

Messaggioda anto_zoolander » 14/07/2019, 16:14

Spero che sia strutturato in maniera tale da garantirti un buon voto anche senza rispondere a tutti e 19 i quesiti :lol:
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Re: Esercizio d'esame analisi 1.

Messaggioda gabriella127 » 14/07/2019, 16:38

3m0o ha scritto:
Su 19 problemi ordinati in modo crescente di difficoltà 16 erano "se vero dimostra, se falso contro-esempio".


Vabbe', però quindi la modalità di esercizio 'se è vero dimostra, se falso controesempio' non era nuova per voi e questo già può prevenire lo svenimento.
Però io in un esame di analisi di primo anno non ho mai visto (a matematica alla Sapienza) un esercizio con questa modalità.
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Re: Esercizio d'esame analisi 1.

Messaggioda anto_zoolander » 14/07/2019, 17:46

Ho riletto la tua dimostrazione un paio di volte e sono giunto a questa considerazione; cito prima il pezzo interessato.

3m0o ha scritto:$\forall n \in \mathbb{N} $ risulta
\[ \sum\limits_{x \in \mathcal{A}_n} \frac{1}{n} \leq \sum\limits_{x \in \mathcal{A}_n} f(x) \]
Dunque forzatamente \( M:= \sup\limits_{n \in \mathbb{N}} a_n < + \infty \) altrimenti avrei
\[ +\infty= \sum\limits_{k= n}^{\infty} \frac{1}{k} \leq \sup\limits_{n \in \mathbb{N}} \sum\limits_{x \in \mathcal{A}_n} \frac{1}{n} \leq \sup\limits_{n \in \mathbb{N}} \sum\limits_{x \in \mathcal{A}_n} f(x) < + \infty \]


L’errore è qui

Non è vero che $sum_(k=n)^(+infty)1/kleq s u p_(m in NN)sum_(x inA_m)1/m$

Il motivo è che essendo $sum_(x in A_n)1/n=1/nsum_(x in A_n)1=(a_n)/n$(in quanto nella somma ciò che varia è $x$) potrebbe quindi, dato $n inNN$, esistere un certo $m in NN$ per cui

$sum_(k=n)^(+infty)1/kleq(a_m)/m -> (a_m)/m=+infty$ ma essendo $m in NN$ dovrebbe essere $a_m=+infty$ il che sarebbe assurdo per quanto dimostrato prima
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Re: Esercizio d'esame analisi 1.

Messaggioda 3m0o » 15/07/2019, 02:04

anto_zoolander ha scritto:Spero che sia strutturato in maniera tale da garantirti un buon voto anche senza rispondere a tutti e 19 i quesiti :lol:

Sni :wink:

gabriella127 ha scritto:Vabbe', però quindi la modalità di esercizio 'se è vero dimostra, se falso controesempio' non era nuova per voi e questo già può prevenire lo svenimento.
Però io in un esame di analisi di primo anno non ho mai visto (a matematica alla Sapienza) un esercizio con questa modalità.

Ci aveva fatto una simulazione d'esame per comprendere com'era strutturato l'esame, la cui media è stata, se non erro, 21 punti su 84 :lol: quindi si, ci aspettavamo questa modalità.


anto_zoolander ha scritto:Ho riletto la tua dimostrazione un paio di volte e sono giunto a questa considerazione; cito prima il pezzo interessato. [...]

Hai ragione! Grazie mille!
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Re: Esercizio d'esame analisi 1.

Messaggioda dissonance » 15/07/2019, 10:50

obnoxious ha scritto:Ok, penso che un modo per vederlo sia usando la disuguaglianza di Chebyshev con la counting measure. La counting measure è sostanzialmente la cardinalità dell'insieme.

In realtà questa è una cosa ovvia, solo che detta così con le misure sembra spaventosa. Infatti, per definizione, \(x\in A_n\) se e solo se \(f(x)>\frac1n\). Quindi, ponendo \(a_n:=\#A_n\),
\[
\sum_{x\in A_n} f(x)>\sum_{x\in A_n} \frac{1}{n}=\frac{1}{n} a_n.\]

Come già notato da obnoxius, questa semplice osservazione porta subito alla soluzione dell'esercizio: difatti, per quanto appena detto, \(a_n\le Cn\) per \(C:=\sup\left(\sum_{x\in A_n} |f(x)|\right)\); questa è una costante finita e indipendente da \(n\), per ipotesi. Quindi
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^2\log^2 n} \le \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\log^2 n}<\infty.\]

Osservazione. Secondo me l'estensore dell'esercizio ha dimenticato di specificare che \(f\) è una funzione positiva. Infatti, tutto questo post resterebbe in piedi sostituendo a \(f\) la sua parte positiva \(f^+\), e la costante \(C\) potrebbe essere rimpiazzata con la costante più piccola \(\sup\left(\sum_{x\in A_n} f^+(x)\right)\).
Ultima modifica di dissonance il 17/07/2019, 13:01, modificato 3 volte in totale.
dissonance
Cannot live without
Cannot live without
 
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