integrale in due variabili

Messaggioda cri98 » 13/07/2019, 17:37

calcolare:
$ int_()^() (4xy^2 dy-9yx^2dx) $
lungo la curva:
$ x^2/4+y^2/9=1 $

la curva rappresenta un'ellisse
il dominio che devo andare a considerare è l'area interna all'ellisse?
ottengo quindi:

$ { ( -2<=x<=2 ),( -3<=y<= 3):} $
se il procedimento è corretto come imposto l'integrale?
$ int_(-3)^(3) 4xy^2 dy-int_(-2)^(2) 9yx^2 dx $


soluzioni che mi vengono proposte:
[1]$ 72pi $
[2] $ 9pi $
[3] $ 108pi $
[4] $ 36 pi $

Grazie!
cri98
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Re: integrale in due variabili

Messaggioda pilloeffe » 14/07/2019, 00:19

Ciao cri98,

L'integrale proposto mi pare reclami a gran voce l'applicazione del teorema di Gauss-Green nel piano, in base al quale, sotto opportune ipotesi (che ti invito ad andare a vedere per bene sul tuo libro di testo e comunque nel caso in esame sono verificate) si ha:

$\oint_{del^+ D} A(x,y)\text{d}x + B(x,y)\text{d}y = \int\int_D ((delB)/(delx) - (delA)/(dely)) \text{d}x \text{d}y $

ove nel caso in esame $ del^+ D $ non è altro che l'equazione dell'ellisse $ x^2/4+y^2/9=1 $, $A(x, y) = - 9yx^2 $, $ B(x, y) = 4xy^2 $ e $D = {(x,y) \in \RR^2 : x^2/4+y^2/9 <= 1} $, per cui si ha:

$\oint_{del^+ D} -9yx^2\text{d}x + 4xy^2\text{d}y = \int\int_D (4y^2 + 9x^2) \text{d}x \text{d}y $

Passando alle coordinate ellittiche

${ ( x=a\rho cos\theta ),( y=b\rho \sin\theta ):} $

ove nel caso in esame $a = 1/3 $ e $b = 1/2 $ e quindi $|J| = ab\rho = 1/6 \rho $, si ha:

$ \int\int_D (4y^2 + 9x^2) \text{d}x \text{d}y = \int_0^{2\pi} \text{d}\theta \int_0^6 \rho^2 \cdot 1/6 \rho \text{d}\rho = 2\pi \cdot 1/6 \cdot [\rho^4/4]_0^6 = \pi 6^3/2 = 108\pi $

Pertanto la risposta corretta è la [3].
Dai un'occhiata anche qui.
pilloeffe
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Re: integrale in due variabili

Messaggioda cri98 » 14/07/2019, 16:54

ciao pilloeffe,
grazie per l'aiuto nello svolgimento dell'esercizio e per avermi aiutato a focalizzare quali bassi teoriche devo comprendere
vado subito a studiare :smt023 :smt023
cri98
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