Somme irrazionali

Messaggioda _fabricius_ » 09/08/2019, 16:16

Uno dei primi teoremi dimostrati in ogni corso di laurea in matematica è l'irrazionalità della radice quadrata di due.

Una immediata generalizzazione porta a provare l'irrazionalità di tutte le radici k-esime (di interi che non siano k-esime potenze perfette).

Basandosi sui risultati precedenti, un facile assurdo porta a provare l'irrazionalità della somma di radici quadrate di interi coprimi.

Insomma, quanto più in là ci si riesce a spingere?

(a) Cosa si può dire ad esempio della somma delle radici quadrate di n interi a due a due coprimi?

(b) E della somma di radici d'indici via via più alti di uno stesso numero? (p.es. $\sqrt{2}+\root{3}{2}+\root{4}{2}+\cdots$)

Conoscete altre generalizzazioni o risultati?

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Di (a) si trovano in rete risposte in senso affermativo, ad esempio qui. Su (b) ed eventuali generalizzazioni non conosco risultati generali.
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Re: Somme irrazionali

Messaggioda Erasmus_First » 11/09/2019, 17:51

_fabricius_ ha scritto:[...]Basandosi sui risultati precedenti, un facile assurdo porta a provare l'irrazionalità della somma di radici quadrate di interi coprimi. [...]
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Occhio fabricius_! Sono naturali coprimi anche le potenze di coprimi con esponente pari!
[Per esempio, $2^6 =64$ e $3^4 =81$ sono coprimi e $sqrt64 + sqrt81 = 8 + 9 = 17$ non è irrazionale!]
OVVIAMENTE la somma delle radici quadrate di due o più potenze di coprimi con esponente pari ha tutti gli addendi interi!

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Re: Somme irrazionali

Messaggioda _fabricius_ » 21/09/2019, 10:38

Grazie della precisazione, mi ero dimenticato di rispecificare la condizione che non fossero quadrati perfetti!
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