Sissa 2010 Esercizio 6

Messaggioda Recdot » 14/08/2019, 14:42

Buongiorno, vi propongo una mia risoluzione di un esercizio di meccanica per la borsa della Sissa, nutro qualche dubbio sui punti 2 e 3.

Un punto materiale $P$ di massa $m$ si muove nello spazio $R^3$ soggetto al campo gravitazionale $(0,0,-g)$ e a 2 molle di costante elastica $K>0$ vincolate nei punti $(0,0,0)$ e $(1,0,0)$.
  • (1) Si scriva la Lagrangiana del moto.
  • (2) Si descrivano le orbite di $P$.
  • (3) Si trovino i gruppi di simmetria e le corrispondenti quantità conservate nel caso in cui $g=0$.

(1)
Scelte come coordinate lagrangiane quelle cartesiane canoniche si ha
\[L=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)-mgz-K(x^2+y^2+z^2)+Kx\]
ometto le costanti.
Le equazioni di moto risultano:
\[
\cases{
m\ddot{x}-(-2Kx+K)=0\\
m\ddot{y}-(-2Ky)=0\\
m\ddot{z}-(-mg-2Kz)=0
}
\]
ossia
\[
\cases{
m\ddot{x}=-2K(x-\frac{1}{2})\\
m\ddot{y}=-2Ky\\
m\ddot{z}=-2K(z+\frac{mg}{2K})
}.
\]
Ma allora il sistema risulta avere le stesse equazioni di quello costituito da un punto $P$ soggetto soltanto ad una molla fissata in $(\frac{1}{2},0,-\frac{mg}{2K})$ avente lunghezza a riposo $0$ e costante elastica $2K$.

(2)
In conseguenza del fatto che abbiamo un moto armonico le orbite sono chiuse ed ellittiche. (è corretto/sufficiente/poco chiaro... boh insomma se qualcuno ha le idee più chiare son contento)

(3)
In assenza della forza di gravità il sistema ha un' evidente simmetria assiale rispetto all'asse $x$, dunque il gruppo delle rotazioni intorno a tale asse è di simmetria, per determinare la quantità conservata scrivo esplicitamente il gruppo ed utilizzo il Teorema di Noether:
\begin{gather*}
\Phi\colon[0,2\pi]\times R^3\to R^3 \\
(\alpha,(x,y,z))\mapsto(x,z\sin\alpha+y\cos\alpha,z\cos\alpha-y\sin\alpha)
\end{gather*}
è lo (pseudo)gruppo delle rotazioni intorno all'asse $x$.
Per il teorema di Noether la quantità
\[
I=\sum_{k=1}^3\frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}}\frac{\partial\Phi_k}{\partial\alpha}|_{\alpha=0}
\]
si conserva durante il moto, svolgendo i conti ottengo
\[
I=m(\dot{y}z-\dot{z}y)
\]
per cui essendo la massa costante ho che
\[
\dot{y}z-\dot{z}y
\]
è una costante del moto.
Al contempo però, ricordando l'interpretazione del sistema come un solo oscillatore armonico, stavolta fissato in $(frac{1}{2},0,0)$, osservo che sono in presenza di un moto centrale, che gode dunque appunto di simmetria centrale.
In questi casi la quantità conservata si ottiene facilmente, perché riscritto il sistema in coordinate sferiche la variabile $\varphi$ è ciclica.
Si ha, riesprimendo la Lagrangiana in coordinate sferiche centrate nel punto base della molla:
\[
L=\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2+r^2\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)-Kr^2
\]
quindi
\[
\frac{\partial L}{\partial\dot{\varphi}}=mr^2\sin^2\theta\dot{\varphi}
\]
è un'altra costante del moto.
Peraltro si può sempre assumere $\theta=\frac{\pi}{2}$ per cui essendo come già detto la massa costante, la costante del moto è:
\[
r^2\dot{\varphi}.
\]
(E' corretto? Ci sta come spiegazione o è fin troppo elaborata? C'era una strada più semplice?)
Grazie mille a chi dà una mano :D
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Re: Sissa 2010 Esercizio 6

Messaggioda Recdot » 19/08/2019, 15:09

Nessuno ha idee più chiare?
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Re: Sissa 2010 Esercizio 6

Messaggioda dissonance » 20/08/2019, 09:50

Secondo me va bene ma non mi convince troppo il punto 3. Come tu stesso hai notato, la Lagrangiana del sistema si può riscrivere come
\[
\frac{m}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)- K\left( (x-\tfrac12)^2+y^2+(z+\frac{mg}{2K})^2\right), \]
e a questo punto si studia il sistema come fosse un oscillatore armonico semplice, perché in effetti quello è. In particolare, tutte le orbite sono ellissi e il gruppo delle simmetrie è quello delle rotazioni attorno a \((\frac12,0,-\frac{mg}{2K})\). Quando \(g=0\), questo gruppo contiene le rotazioni attorno all'asse delle \(x\), quindi, ancora una volta, non c'è bisogno di fare due studi separati come hai fatto tu.

LA COSA CHE NON MI CONVINCE: dal gruppo delle rotazioni, che è tridimensionale, dovresti poter estrarre 3 grandezze conservate, mentre tu ne hai trovate solo 2.
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Re: Sissa 2010 Esercizio 6

Messaggioda Recdot » 20/08/2019, 10:23

Grazie della risposta!
Correggimi se dico una sciocchezza, ma non dovrebbero essere due gruppi di simmetria distinti quello delle rotazione attorno ad un asse (asse x) e quelle intorno ad un punto? Ho fatto quei due studi separati perché è il primo modo che mi è venuto per evidenziarli entrambi.
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