[Elettrotecnica] Calcolo tensione stellata d'ingresso sistema trifase

Messaggioda CosenTheta » 29/09/2019, 22:44

Si consideri il trifase in figura:

Immagine


Sto tentando di risolvere il punto a) ma senza successo. Ecco qual è stato il mio ragionamento: supponendo di ragionare in soli moduli, secondo la configurazione della rete la tensione (stellata) incognita d'ingresso \(\displaystyle E \) dovrebbe agire solo sul primo carico di impedenze \(\displaystyle Z = R_L + jX_L \), mentre sui carichi di sole resistenze e di soli condensatori dovrebbe agire una tensione stellata diversa da \(\displaystyle E \), che chiamo \(\displaystyle E' \). Inoltre, il valore di corrente letto dall'amperometro, che chiamo \(\displaystyle I \) sulla fase 3 dovrebbe essere uguale anche per le altre due resistenze, avendo a che fare con soli carichi equilibrati.

Questa tensione \(\displaystyle E' \) posso calcolarla moltiplicando il valore individuato dall'amperometro con il valore \(\displaystyle R \) di resistenza, ossia:

\(\displaystyle E' = R*I = 120 * 5 = 600V \).

A questo punto, se riuscissi a calcolarmi la corrente di linea \(\displaystyle I_1 \) , potrei ricavarmi \(\displaystyle E \) semplicemente calcolando il prodotto:

\(\displaystyle E = Z * I \)

Per ricavare \(\displaystyle I_1 \), devo sommare la corrente che scorre nel resistore su quella linea, di valore \(\displaystyle 5A \), con il contributo verso il carico di condensatori che nel circuito ho segnato con una freccia rossa, che si divide a sua volta nelle due correnti che nel circuito ho segnato in giallo e verde e che coincidono, visto che agiscono su due impedenze di stesso valore e ai loro capi presentano la stessa tensione concatenata \(\displaystyle E' \sqrt{3} \). Questo valore comune risulta \(\displaystyle \frac{20 \sqrt{3}}{3} \).

Quindi, in definitiva, \(\displaystyle I_1 = \frac{40 \sqrt{3} + 15}{3}\), e dunque

\(\displaystyle E = Z * I = 3 \sqrt{2} * \frac{(40 \sqrt{3} + 15)}{3} = 40 \sqrt{6} + 15 \sqrt{2} = 120V\) circa, ben lontano dal risultato atteso.

Quali sono gli errori nel mio ragionamento? Il mio dubbio risiede soprattutto su come ho suddiviso la tensione stellata di ingresso tra i carichi trifase. Grazie.
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Re: [Elettrotecnica] Calcolo tensione stellata d'ingresso sistema trifase

Messaggioda RenzoDF » 30/09/2019, 00:25

I tuoi errori stanno:

a) nel "ragionare di soli moduli"; non è possibile in regime alternato sinusoidale non considerare anche la fase associata alle diverse grandezze

b) nel supporre che la tensione stellata $E$ in ingresso coincida con quella sulla impedenza di linea $\dotZ=R_L+jX_L$, in quanto la suddetta tensione sarà pari alla somma fasoriale del prodotto $Z \ I$ con la tensione ai morsetti del resistore $R$, attraversato dalla corrente $\barI_A$ (indicata solo in modulo dall'amperometro), ovvero

$\bar E= \dot Z \ \bar I+R \bar I_A$

c) nel ritenere che le due correnti nei due condensatori "coincidano"; questo è vero solo come modulo, non come fase (essendo forzate da due diverse tensioni $\barV_{12}$ e $\barV_{13}$ il loro sfasamente sarà di 60°.)
Per questo punto, per "vincere facile", ti consiglio di trasformare il triangolo capacitivo in stella1; ricordando che per i condensatori della stella \(X_{Cs}=X_{C}/3\), che il centro stella della stella capacitiva va a coincidere con il centro stella della stella resistiva destra, e che quindi la tensione ai morsetti di questi condensatori coincide con quella ai morsetti dei resistori $R$, potrai determinare la corrente di linea che attraversa $Z$

$\barI=\barI_{Cs}+\barI_R$

Assumendo la corrente nel resistore R a fase zero, ovvero $\barI_R=5 \ \text{A}$, avrai

$\bar E'=R \ \bar I_R=600 \ \text{V}$

$\barI_{Cs}=(\bar E')/(-jX_{Cs})=j20 \ \text{A}$

lascio a te completare

...
-------------------------------------------
Se posso darti un consiglio, impara ad usare il diagramma fasoriale, per controllare i vari passaggi simbolici e in particolare le relazioni di fase; ti fornirà un notevole aiuto nella risoluzione dei problemi (per quello in oggetto sarebbe poi sufficiente il diagramma fasoriale associato al circuito equivalente monofase).

Note

  1. In questo modo potrai usare il circuito monofase equivalente.
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Re: [Elettrotecnica] Calcolo tensione stellata d'ingresso sistema trifase

Messaggioda CosenTheta » 30/09/2019, 19:07

RenzoDF ha scritto:b) nel supporre che la tensione stellata $E$ in ingresso coincida con quella sulla impedenza di linea $\dotZ=R_L+jX_L$


Posso dire che la tensione stellata \(\displaystyle E \) è la stessa tensione di un carico di linea di impedenze quando sulla linea c'è solo e soltanto questo carico? Se nel nostro esempio NON ci fosse stato il carico di tre resistenze (sostituendole con corti), lasciando magari inalterato quello di condensatori, potevamo concludere che la tensione sulle impedenze sarebbe stata proprio \(\displaystyle E \)?

RenzoDF ha scritto: $\bar E= \dot Z \ \bar I+R \bar I_A$


In questa somma manca il contributo di spostamento di centro stella perché tutti e due i carichi, quello delle tre impedenze iniziali e quello delle resistenze destre, sono equilibrati. Confermi quindi che in questa somma non compare mai il contributo di tensione di un qualsiasi altro carico, che sia esso equilibrato o squilibrato, collegato come il triangolo dei tre condensatori?
Inoltre, se al posto delle tre resistenze destre ci fosse stato un unico blocco motore M, come avrei potuto applicare la stessa formula? (Non ho più un' esplicita \(\displaystyle R \) da mettere in questa formula).


RenzoDF ha scritto:il centro stella della stella capacitiva va a coincidere con il centro stella della stella resistiva destra


Ho provato a ridisegnare il circuito applicando la trasformazione triangolo->stella al carico di condensatori, ottenendo questo

Immagine

però per quale motivo il punto B dovrebbe coincidere col punto A, visto che non c'è alcun filo di neutro che li collega?
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Re: [Elettrotecnica] Calcolo tensione stellata d'ingresso sistema trifase

Messaggioda RenzoDF » 01/10/2019, 11:35

CosenTheta ha scritto: Posso dire che la tensione stellata \(\displaystyle E \) è la stessa tensione di un carico di linea di impedenze quando sulla linea c'è solo e soltanto questo carico? Se nel nostro esempio NON ci fosse stato il carico di tre resistenze (sostituendole con corti), lasciando magari inalterato quello di condensatori, potevamo concludere che la tensione sulle impedenze sarebbe stata proprio \(\displaystyle E \)?

Premesso che esiste una differenza concettuale fra impedenza "di linea" e "di carico", se non ci fosse stato il carico resistivo ma un cortocircuito, è chiaro che la tensione stellata sarebbe stata pari a quella ai morsetti delle impedenze "di linea", il cortocircuito avrebbe poi annullato anche la tensione ai morsetti del carico capacitivo e lo avrebbe quindi reso ininfluente.

CosenTheta ha scritto: ... In questa somma manca il contributo di spostamento di centro stella perché tutti e due i carichi, quello delle tre impedenze iniziali e quello delle resistenze destre, sono equilibrati. ...

Sì.

CosenTheta ha scritto: ... Confermi quindi che in questa somma non compare mai il contributo di tensione di un qualsiasi altro carico, che sia esso equilibrato o squilibrato, collegato come il triangolo dei tre condensatori?...

No, un qualsiasi carico squilibrato (trifase o monofase), collegato fra i morsetti del carico equilibrato, porterebbe il carico complessivo ad essere squilibrato; le diverse conseguenti correnti di linea andrebbero attraverso le cadute di tensione sulle tre impedenze di linea Z a "spostare" in modo diverso le tensioni ai morsetti e di conseguenza a "spostare" anche la posizione del centro stella del carico equilibrato.

CosenTheta ha scritto: ... Inoltre, se al posto delle tre resistenze destre ci fosse stato un unico blocco motore M, come avrei potuto applicare la stessa formula? (Non ho più un' esplicita \(\displaystyle R \) da mettere in questa formula).

Ovviamente in questo caso il discorso sarebbe stato più complesso, in quanto bisognerebbe considerare il circuito equivalente di ogni fase del motore (che è funzione del carico meccanico al suo albero); diciamo che in quel caso avresti potuto risolvere il problema conoscendo oltre alla corrente indicata dall'amperometro anche la potenza complessa assorbita dal motore, oppure la tensione ai suoi morsetti e il fattore di potenza.

CosenTheta ha scritto: ... Ho provato a ridisegnare il circuito applicando la trasformazione triangolo->stella al carico di condensatori, ottenendo questo ... però per quale motivo il punto B dovrebbe coincidere col punto A, visto che non c'è alcun filo di neutro che li collega?

Prova a determinare il potenziale $\barV_x$ del centro stella di una stella equilibrata di impedenze $\dot Z$, noti i tre generici potenziali complessi ai suoi morsetti $\barV_1\ , \ \barV_2 \ , \ \ barV_3$ usando una semplice KCL e troverai la risposta. :wink:
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Re: [Elettrotecnica] Calcolo tensione stellata d'ingresso sistema trifase

Messaggioda CosenTheta » 10/10/2019, 19:18

RenzoDF ha scritto: Prova a determinare il potenziale del centro stella di una stella equilibrata di impedenze Z., noti i tre generici potenziali complessi ai suoi morsetti usando una semplice KCL e troverai la risposta.



Immagine

\(\displaystyle \bar{I_{1}} + \bar{I_{2}} + \bar{I_{3}} = \bar{0} \)
\(\displaystyle \frac{1}{\dot{Z}}((\bar{V_{1}} - \bar{V_{x}}) + (\bar{V_{2}} - \bar{V_{x}}) + (\bar{V_{3}} - \bar{V_{x}})) = \bar{0} \)
\(\displaystyle \bar{V_{1}} - \bar{V_{x}} + \bar{V_{2}} - \bar{V_{x}} + \bar{V_{3}} - \bar{V_{x}} = \bar{0} \)
\(\displaystyle 3\bar{V_{x}} = \bar{V_{1}} + \bar{V_{2}} + \bar{V_{3}} \)
\(\displaystyle \bar{V_{x}} = \frac{\bar{V_{1}} + \bar{V_{2}} + \bar{V_{3}}}{3} \)
ma perché questa quantità dovrebbe essere zero, visto che stiamo supponendo che \(\displaystyle \bar{V_{1}} \) , \(\displaystyle \bar{V_{2}} \) e \(\displaystyle \bar{V_{3}} \) sono GENERICHE tensioni?
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Re: [Elettrotecnica] Calcolo tensione stellata d'ingresso sistema trifase

Messaggioda RenzoDF » 10/10/2019, 19:34

Come ben sai il potenziale (non la tensione) al quale mi riferivo, non è mai definito in forma assoluta, ma solo relativa, ad ogni modo, volevo solo farti notare che qualsiasi sia quell'impedenza Z, il potenziale del centro stella rimane sempre lo stesso per una stella equilibrata; se poi, come nel nostro caso, quei potenziali corrispondono alle tre tensioni stellate $\bar E_1$, $\bar E_2$ e $\bar E_3$, del sistema trifase simmetrico fra i tre morsetti e il centro stella dei generatori (assunto come "riferimento a zero" per i tre potenziali), allora avrai che

$\barV_x=(\bar E_1 +\bar E_2+\bar E_3)/3=0$
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Re: [Elettrotecnica] Calcolo tensione stellata d'ingresso sistema trifase

Messaggioda CosenTheta » 10/10/2019, 19:36

Ti ringrazio.
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