[Elettrotecnica] Calcolo della potenza rilevata da un wattmetro in un sistema trifase

Messaggioda CosenTheta » 05/10/2019, 17:54

Si consideri il sistema trifase in figura, alimentato da una terna diretta di tensioni simmetriche:

Immagine

I dati sono i seguenti:

\(\displaystyle R = 3, X_{L} = 4, X_{C} = 50, P_{M} = 25k W, Q_{M} = 35k VAr \)

Si richiede di calcolare la potenza rilevata dal wattmetro.
Questo è stato il mio ragionamento: la potenza rilevata, osservando che i morsetti voltmetrici sono collegati alle fasi 1 e 3, e che i morsetti amperometrici sono collegati invece sulla seconda fase, il calcolo da effettuare è il seguente:

\(\displaystyle W = V_{13}I_{2} \cos(\phi) = (E_{1} - E_{3})I_{2} \cos(\phi) \)

Osservando che l'amperometro della prima linea mi fornisce il valore efficace
della prima corrente che alimenta il motore M, che si sa essere un carico equilibrato, e siccome anche tutti gli altri carichi sono equilibrati, allora assumo che anche le altre due correnti abbiano lo stesso valore efficace e che siano distanziate da una fase di \(\displaystyle \frac{2\pi}{3} \), vale a dire:

\(\displaystyle \bar{I_{M1}} = [30,0] \)
\(\displaystyle \bar{I_{M2}} = [30, - \frac{2\pi}{3}]\)
\(\displaystyle \bar{I_{M3}} = [30, - \frac{4\pi}{3}] \)

Dopodiché posso ricavare la fase \(\displaystyle \phi_{M} \) del motore con le relazioni:

\(\displaystyle P_{M} = 3E_{M}I_{M} \cos(\phi_{M})\)
\(\displaystyle Q_{M} = 3E_{M}I_{M} \sin(\phi_{M}) \)

dove con \(\displaystyle E_{M} \) ho indicato la tensione stellata applicata SOLTANTO al carico di condensatori e al motore, che posso eliminare effettuando il rapporto tra le due eguaglianze, e quindi:

\(\displaystyle \phi_{M} = \arctan(\frac{Q_{M}}{P_{M}}) \)

Nota \(\displaystyle \phi_{M} \), adesso posso ottenere \(\displaystyle E_{M} \) sfruttando una delle due relazioni, quindi per esempio:

\(\displaystyle E_{M} \) = \(\displaystyle \frac{P_{M}}{3I_{M} \cos(\phi_{M})} = 463 \) circa.

Poiché la fase \(\displaystyle \phi_{M} \) rappresenta, oltre che la fase del motore, anche la fase di distacco tra tensione stellata e corrente di linea associata, scrivo:

\(\displaystyle \bar{E_{M1}} = [463, \phi_{M}] \)
\(\displaystyle \bar{E_{M2}} = [463, \phi_{M} - \frac{2\pi}{3}]\)
\(\displaystyle \bar{E_{M3}} = [463, \phi_{M} - \frac{4\pi}{3}] \)

A questo punto, ottengo la corrente \(\displaystyle \bar{I_{2}} \) semplicemente come:

\(\displaystyle \bar{I_{2}} = \bar{I_{C2}} + \bar{I_{M2}} \)
dove \(\displaystyle \bar{I_{C2}} = \frac{\bar{E_{M2}}}{-jX_{C}} \).
Lo stesso ragionamento si applica per il calcolo delle altre due correnti di linea, con opportuno cambio di indici.

Restano ancora da calcolare \(\displaystyle \bar{E_{1}} \) ed \(\displaystyle \bar{E_{3}} \).
Sapendo che lo spostamento di centro stella è nullo, per via della presenza
di carichi equilibrati, posso scrivere
\(\displaystyle \bar{E_{1}} = \bar{V_{\dot{Z}}} + \bar{E_{M1}} \)
\(\displaystyle \bar{E_{3}} = \bar{V_{\dot{Z}}} + \bar{E_{M3}} \)

dove con \(\displaystyle \bar{V_{\dot{Z}}} \) indico la tensione sulla singola impedenza \(\displaystyle \dot{Z} = R + jX_{L} \), facilmente calcolabile moltiplicando \(\displaystyle \dot{Z} \) per la corrente di linea corrispondente.

Finalmente, a questo punto, posso ottenere la fase \(\displaystyle \phi \) che compare nella formula del calcolo di \(\displaystyle W \), che rappresenta la differenza di fase tra \(\displaystyle (\bar{E_{3}} - \bar{E_{1}}) \) e \(\displaystyle \bar{I_{2}} \).

Può essere considerato corretto questo procedimento? Vi ringrazio.
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Re: [Elettrotecnica] Calcolo della potenza rilevata da un wattmetro in un sistema trifase

Messaggioda Vidocq » 05/10/2019, 18:01

CosenTheta ha scritto:Questo è stato il mio ragionamento: la potenza rilevata, osservando che i morsetti voltmetrici sono collegati alle fasi 1 e 3, e che i morsetti amperometrici sono collegati invece sulla seconda fase, il calcolo da effettuare è il seguente:

\(\displaystyle W = V_{13}I_{2} \cos(\phi) = (E_{1} - E_{3})I_{2} \cos(\phi) \)



Osserva meglio lo schema. :wink:
Chi e' $E_{1}$?
Chi e' $E_{3}$?
Come e' collegato il wattmetro?
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Re: [Elettrotecnica] Calcolo della potenza rilevata da un wattmetro in un sistema trifase

Messaggioda CosenTheta » 07/10/2019, 18:15

Forse \(\displaystyle E_{1'} - E_{3} = E_{M1} - E_{3} \)?
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Re: [Elettrotecnica] Calcolo della potenza rilevata da un wattmetro in un sistema trifase

Messaggioda RenzoDF » 10/10/2019, 09:49

:smt023
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Re: [Elettrotecnica] Calcolo della potenza rilevata da un wattmetro in un sistema trifase

Messaggioda CosenTheta » 10/10/2019, 14:23

Ok, a parte questo mio errore, il procedimento è giusto, supponendo di ragionare non su \(\displaystyle E_{1} \) ma su \(\displaystyle E_{1'} \)?
Ho il dubbio sul fatto che la tensione stellata \(\displaystyle E_{M} \) del motore sia anche la tensione stellata dei condensatori: visto che sia i consensatori sia il carico M condividono gli stessi morsetti 1' 2' 3', hanno allora certamente le stesse tensioni concatenate, quindi posso dire che condividono anche le stesse tensioni stellate?
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Re: [Elettrotecnica] Calcolo della potenza rilevata da un wattmetro in un sistema trifase

Messaggioda RenzoDF » 10/10/2019, 14:31

Se tu avessi seguito il mio consiglio finale in un tuo precedente thread, avresti già la risposta :D

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Re: [Elettrotecnica] Calcolo della potenza rilevata da un wattmetro in un sistema trifase

Messaggioda CosenTheta » 10/10/2019, 18:46

Potresti mostrarmi come si imposta un diagramma fasoriale, applicato per esempio a questo esercizio?
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Re: [Elettrotecnica] Calcolo della potenza rilevata da un wattmetro in un sistema trifase

Messaggioda RenzoDF » 10/10/2019, 18:50

Scusa, ma perché non provi prima a rispondere a quella domanda sul centro stella (per la quale non serve il diagramma fasoriale) :?:
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Re: [Elettrotecnica] Calcolo della potenza rilevata da un wattmetro in un sistema trifase

Messaggioda RenzoDF » 11/10/2019, 11:47

CosenTheta ha scritto:Potresti mostrarmi come si imposta un diagramma fasoriale, applicato per esempio a questo esercizio?

Come già detto possiamo usare il circuito equivalente semplificato per disegnare il diagramma di una singola fase; per quello complessivo basterà replicarlo a +120 e a -120 gradi per le fasi 3 e 2.

Scegliendo per convenienza grafica il fasore della stellata $E_{M1}$ della prima fase del motore con argomento nullo, avremo una corrente $I_{M1}$ del motore in ritardo dell'angolo $\phi_M$ e una corrente nel ramo capacitivo in anticipo di 90 gradi; la somma delle due correnti fornirà la corrente $I_1$, e di conseguenza la caduta di tensione sulla impedenza in serie alla linea che, sommata alla stellata del motore, fornirà la stellata $E_1$ del sistema.
Qualitativamente avrai il seguente diagramma



Come al solito attendiamo la tua soluzione al problema. :wink:
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Re: [Elettrotecnica] Calcolo della potenza rilevata da un wattmetro in un sistema trifase

Messaggioda CosenTheta » 20/10/2019, 18:17

RenzoDF ha scritto: Come al solito attendiamo la tua soluzione al problema.

Ossia? Un altro diagramma degli stessi vettori?
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