[Teoria dei Segnali] Trasformazione di una variabile aleatoria

Messaggioda CasellaJr » 12/10/2019, 19:22

Salve a tutti.
Innanzitutto mi scuso se ho sbagliato a scrivere nella sezione corretta, ero indeciso tra questa e la sezione di probabilità e statistica.
A ogni modo, devo sostenere l'esame di teoria dei segnali, e ci sono alcuni tipi di esercizi che non riesco a capire come si fanno, in particolare quelli in cui si trattano le variabili aleatorie.
In particolare, il testo dell'esercizio è il seguente:

Sia data la variabile aleatoria X la cui densità di probabilità è pari a $ f_X(x) = kx $ se $ x in [1,2] $ , mentre vale 0 altrove. Inoltre sia Y definita come $ Y = X^2 $ . Determinare:
1) Media e varianza di X
2) Media e varianza di Y
3) La densità di probabilità di Y
4) Il valore della distribuzione cumulativa di probabilità di Y in 2
5) La probabilità che Y sia maggiore del doppio di X

Io sono riuscito, o almeno credo, a risolvere i primi due punti. In particolare per il punto 1 ho calcolato prima l'integrale tra 1 e 2 di $ xf_X(x) $ per la media, e l'integrale tra 1 e 2 di $ x^2f_X(x) $ a cui ho sottratto il valor medio al quadrato trovato in precedenza. Per il punto 2 ho fatto gli stessi calcoli, però sostituendo x^2 al posto di x in quanto $ Y = X^2 $
Adesso, per il punto 3 ho difficoltà. Credo di dover applicare il teorema fondamentale della trasformazione di variabile aleatoria che mi dice che: $ f_Y(y) = sum_(i) f_X(x_i)/(|g'(x_i)|) $
Tuttavia non ho idea di come io debba applicare questa formula. Avevo pensato che $ f_X(x_i) $ fosse uguale a $ kx $ e che $ |g'(x_i)|) $ fosse uguale alle derivata di $ Y = X^2$ ovvero $ 2X $ ma non mi convince come soluzione.
CasellaJr
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 24 di 24
Iscritto il: 12/01/2017, 12:53

Re: [Teoria dei Segnali] Trasformazione di una variabile aleatoria

Messaggioda Quinzio » 20/10/2019, 12:45

Vediamo di fare tutto l'esercizio con ordine.
Intanto bisogna calcolare $k$, siccome deve essere che $\int_1^2 f_X(x) dx = 1$

$\int_1^2 f_X(x) dx = \int_1^2 kx dx = (kx^2)/2 |_1^2 = k 3/2 = 1$

quindi $k = 2/3$

1)

Media

$\mathbb E(X) = \int_1^2 2/3 x^2\ dx = 2/9 x^3 |_1^2 = 14/9$

Varianza

$ \sigma^2(X) = \mathbb E [ (X - \mathbb E(X) )^2 ] = \int_1^2 2/3x(x -14/9)^2 dx = 13/162$

Calcoliamo anche la distribuzione cumulativa

$ F_X(x) = \int_1^x 2/3 x\ dx = 1/3 (x^2 -1)$

da cui ricaviamo subito quella di $Y = X^2$

$ F_Y(y) = 1/3 (y -1)$

e

$ f_Y(y) = 1/3$

2)

Media di $Y$

Siccome la ddp e' costante la media sara' il punto medio tra 1 e 4, ovvero 5/2

mentre la varianza

$ \sigma^2(Y) = \mathbb E [ (Y - \mathbb E(Y) )^2 ] = \int_1^4 1/3(x -5/2)^2 dx = 3/4$

3) La densità di probabilità di Y

Vedi sopra

4) Il valore della distribuzione cumulativa di probabilità di Y in 2

1/3, vedi sopra

5) La probabilità che Y sia maggiore del doppio di X

Siccome $y>2x$ per
$x^2 > 2x$
$x > 2$ e $x<0$

Ma siccome la probabilita' per $X$ e concentrata tutta tra 1 e 2, si conclude che la probabilità che Y sia maggiore del doppio di X e' nulla.
Quinzio
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 4330 di 4336
Iscritto il: 24/08/2010, 07:50


Torna a Ingegneria

Chi c’è in linea

Visitano il forum: RenzoDF e 11 ospiti