Teorema di Kirchhoff

Messaggioda 3m0o » 03/12/2019, 14:41

Ciao, avrei una domanda riguardo all'enunciato del teorema di Kirchhoff.
Sia \(G\) un grafo connesso con \(n \) vertici, e siano \(\lambda_1, \ldots, \lambda_{n-1} \) gli autovalori non nulli della matrice Laplaciana di \(G \). Allora il numero di alberi ricoprenti di \(G \) è dato da
\[ \frac{1}{n} \prod\limits_{k=1}^{n-1} \lambda_k \]
La mia domanda è come mai si è sicuri che vi siano esattamente \( n -1 \) autovalori non nulli, ed esattamente uno nullo?
3m0o
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Re: Teorema di Kirchhoff

Messaggioda Martino » 03/12/2019, 15:09

La molteplicità dell'autovalore zero della matrice Laplaciana è uguale al numero di componenti connesse, vedi qui.
Le persone che le persone che le persone amano amano amano.
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Re: Teorema di Kirchhoff

Messaggioda gugo82 » 03/12/2019, 21:35

Grazie per il riferimento, Martino.
È una cosa in cui sono inciampato un paio di volte, ma non ho mai avuto l’opportunità di approfondire. :wink:
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: Teorema di Kirchhoff

Messaggioda 3m0o » 04/12/2019, 12:53

Grazie mille!
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Re: Teorema di Kirchhoff

Messaggioda Martino » 04/12/2019, 13:58

Prego :)
Le persone che le persone che le persone amano amano amano.
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