Convergenza puntuale serie e successione

Messaggioda Avelyne » 26/03/2020, 13:01

Salve,
di solito non scrivo, ma sono davvero curiosa di capire perchè non riesco ad arrivare alla soluzione di questo esercizio, sicuramente banale.
Devo trovare l'insieme di convergenza puntuale di questa serie:
$\sum_{n =1}^{+\infty} e^{-n^3|sen(x/n)|}$
Io ho pensato per prima cosa che se ho x = 0 questa diverge, poichè avrei la serie giometrica con ragione 1. Quindi posso escludere x = 0. Ma in realtà non so se posso dirlo, perchè avrei 0*inf ?

Anche se fosse giusto, per il resto, non riesco a capire come svolgerla. Ho cercato anche di dire che questa serie è maggiore di un'altra serie:
$\sum_{n=1}^{+\infty}e^{-n^3}$, ma in realtà non so se possa essere giusto.
Poi ho, la stessa funzione come successione di funzione, quindi:
$f(x) = e^{-n^3|sin(x/n)|}$ e mi chiede sempre l'intervallo di convergenza puntuale. In teoria qui devo calcolarmi il limite per n che va all'infinito. Giusto? Ma non so come sviluppare il tutto.
Scusate se la domanda è banale, ma sono davvero in crisi :(
Avelyne
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Re: Convergenza puntuale serie e successione

Messaggioda Mephlip » 26/03/2020, 13:55

Ciao!
Avelyne ha scritto:Io ho pensato per prima cosa che se ho x = 0 questa diverge, poichè avrei la serie giometrica con ragione 1

Attenzione: se $x=0$ hai
$$\sum_{n=1}^\infty e^{-n^2 |\sin 0|} =\sum_{n=1}^\infty 1$$
Che diverge perché non è soddisfatta la condizione necessaria di convergenza di Cauchy, non perché è una serie geometrica; perché dici che è una serie geometrica? Non è vero.
Avelyne ha scritto:Quindi posso escludere x = 0. Ma in realtà non so se posso dirlo, perchè avrei 0*inf ?

Questo evidenzia una lacuna importante sui limiti, uno dei dubbi classici è proprio quello: non è una forma indeterminata, perché la forma indeterminata $0\cdot \infty$ si genera quando due successioni (o funzioni) che sono moltiplicate tra loro tendono una a $0$ e l'altra ad $\infty$.
Qui $x$ è fissato a $0$, non sta tendendo da nessuna parte; quindi il problema della forma indeterminata non si pone.
Avelyne ha scritto:Ho cercato anche di dire che questa serie è maggiore di un'altra serie:
$∑_{n=1}^{+∞}e^{−n^3}$, ma in realtà non so se possa essere giusto.

Sebbene la disuguaglianza $e^{-n^3} \geq e^{-n^3 |\sin \left(\frac{x}{n}\right)|}$ sia vera purtroppo non ti dà informazioni, perché trovi che la serie da studiare è maggiore di una serie convergente.
Hai provato col criterio della radice?
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Re: Convergenza puntuale serie e successione

Messaggioda Avelyne » 26/03/2020, 15:16

Intanto ti ringrazio per la risposta, purtroppo ho fatto analisi I due anni fa, e molte cose non le ricordo benissimo.
Inoltre ti ringrazio per avermi ricordato il fatto dello 0*infinito, cosa che mi ero completamente dimenticata.


Con il criterio della radice trovo il:
$\lim_{n\to\ \infty} e^{-n^2|sin(x/n)|} = \lim_{n\to\ \infty}e^{-\infty} = 0$ se $x!=0$ Quindi,se fosse giusto quello che ho scritto, ho che la serie converge.
:roll:
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Re: Convergenza puntuale serie e successione

Messaggioda pilloeffe » 26/03/2020, 18:49

Ciao Avelyne,

Più brevemente avrei osservato che \( \displaystyle \sin\bigg(\frac{x}{n}\bigg) \sim \frac{x}{n} \) per $n \to +\infty $, per cui la serie proposta si comporta come la seguente:

$\sum_{n = 1}^{+\infty} e^{- n^2 |x|} $

Applicando il criterio della radice si vede subito che la serie proposta converge $\AA x \in \RR - {0} $
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Re: Convergenza puntuale serie e successione

Messaggioda Avelyne » 26/03/2020, 19:28

In effetti, non ci avevo pensato a questa cosa, grazie mille :-D Mi avete salvato dalla pazzia (Per ora) hahah
Avelyne
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