Esercizi svolti di geometria analitica

  1. Distanza di un punto da una retta

  2. Stabilisci mediante confronto grafico il numero delle soluzioni della seguente equazione, se esistono, e per ciascuna di esse individua un intervallo che le contiene. $ 2^x = 1 – x^2 $

  3. Determinare per quale valore del parametro  $k$  la retta del fascio $(k – 1)x + 3 ky – 5k = 0 $  forma con il semiasse positivo delle ascisse: …

  4. Il quadrilatero  $OABC$  ha vertici in  $O(0;0)$ ,  $A(1;1)$ ,  $B (2 ; 3/2)$ , e il vertice  $c$  sul semiasse positivo delle  $x$ . …

  5. Scrivere l’equazione della parabola γ avente asse di simmetria parallelo all’asse  $y$  e passante per i punti   $A(-1 ; 0)$,   $B(4 ; 5)$   e   $D(3 ; 0)$….

  6. Data la retta   $ y = 1/2 x – 3$ , determinare le equazioni delle rette  $t$  e  $s$  passanti per l’origine e che formano con  $r$  angoli di  $30°$.

  7. Scritta l’equazione della parabola avente asse parallelo all’asse  $y$  e passante per  $ B (0 ; 8)$  e tangente in  $A (- 4 ; 0)$  all’asse  $x$, determinare sull’arco  $AB$ ….

  8. Determinare il luogo dei vertici del seguente fascio di parabole: …

  9. Scritta l’equazione della circonferenza tangente in  $O$  alla retta  $t: 2x – y = 0$ e passante per   $ A ( 2 ; 0 ) $ , determinare l’equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all’asse  $y$ , con vertice nel centro  $C$  della circonferenza e passante per l’origine degli assi  $O$.

  10. Determinare per quali valori del parametro k la circonferenza di equazione $x^2 + y^2 – 2(k-1)x + 2ky + k – 4 = 0 $ …

  11. Dato il fascio di rette di equazione  $(2-k)x + 3(2-k)y + 3k = 0$  dopo aver verificato che si tratta di un fascio improprio, determinare: …

  12. Determina i coefficienti a,b,c in modo che l’equazione $ax^2 + by^2 – 2x + 6y + c = 0 $  rappresenti la circonferenza passante per  $O (0;0)$   e  $A(2;1)$  e ….

  13. Nel fascio di circonferenze di equazione $ x^2 + y^2 – (k + 3) x + (k – 1) y – k – 3 = 0 $ Determinare quelle che soddisfano le seguenti condizioni: ….

  14. Studia il fascio di parabole di equazione: $ (m + 1) x^2 – 4(m + 1) x – (m + 1) y + 4 + 5m = 0$

  15. Nella famiglia F di circonferenze di equazione: $2 x^2 + 2 y^2 + 2ax + 2by + 4a + 3b = 0 $ ….

  16. Data l’equazione $ (2k – 1) x^2 + ky^2 + (1-k) y – 8k + 4 = 0$ :

  17. Determina l’equazione della circonferenza avente per diametro il segmento di estremi A(-3;1) e B(2;5).

  18. Scrivi l’equazione della circonferenza passante per l’origine e avente il centro nel punto di ordinata 2 della retta di equazione y=3x-4

  19. Determina l’equazione della circonferenza passante per P(6;-1) e avente centro in C(-3/2;1/2)

  20. Trova i punti di intersezione tra la circonferenza di equazione $x^2+y^2-4x-2y=0$ e la retta $y=x-2$ e poi determina le tangenti in tali punti.

  21. Nelle seguenti coppie di equazioni, stabilisci la posizione della retta rispetto alla circonferenza e, nei casi in cui la retta non sia esterna, determina le coordinate dei punti di intersezione o del punto di tangenza.

  22. Trova per quali valori di k la seguente equazione rappresenta l’equazione di una circonferenza:

  23. Indica quali delle seguenti equazioni corrispondono a una circonferenza:

  24. Scrivi l’equazione della circonferenza avente raggio 3 e centro nel punto P(4/3;-1/2)

  25. Determina gli eventuali punti di intersezione delle circonferenze $x^2+y^2-2x+4y-12=0$ e $x^2+y^2-8x+14y-20=0$

  26. Trova l’equazione della circonferenza circoscritta al triangolo di vertici A(0;0),B(4;0),C(3;√3)

  27. Determinare l’equazione della circonferenza che passa per A(1;2) e ha centro C(4;3).

  28. Sapendo che gli estremi di un diametro di una circonferenza sono A(-3;1) e D(2;5), trovare l’equazione canonica della circonferenza.

  29. Determiniamo l’equazione della retta tangente alla circonferenza $x^2+y^2-4x-2y=0$ nel suo punto P(1;3)

  30. Determinare le equazioni delle tangenti alla circonferenza $x^2+y^2-12x+2y+17=0$ passanti per P(0;1).

  31. Determina la lunghezza della corda che la circonferenza di equazione $x^2+y^2-12x+2y-37=0$ stacca sulla retta di equazione $y=2x+4$.

  32. Rappresenta graficamente la seguente funzione: $y=2+sqrt(9-x^2 )$

  33. Trova per quali valori di k la seguente equazione rappresenta una circonferenza:

  34. Trova l’equazione della circonferenza di raggio $2 sqrt(3)$ avente il centro nel punto in cui la retta di equazione 2x+3y-5=0 interseca la bisettrice del I quadrante e del III quadrante.

  35. Dato il triangolo di vertici A(-4;3), B(-6; -3) e C(0; -5) determina l’equazione della circonferenza circoscritta.

  36. Considera la retta passante per A(0; 5) e B(-2; -3). Determina su tale retta un punto C la cui ascissa è tripla dell’ordinata. Considera la retta parallela all’asse x passante per A e la retta parallela all’asse y passante per B. Determina il punto

  37. Determina l’equazione della circonferenza passante per i punti P(0;4) e Q(-2;2) e tangente alla retta r di equazione y – x + 4 = 0

  38. Determina l’asse radicale e i punti di intersezione delle due circonferenze x^2+y^2+3x+y-4=0, x^2+y^2+4x-6=0

  39. Determina l’equazione della circonferenza passante per i punti A(4; 1) e B(2;2) e avente il centro sulla retta r di equazione x -2y = 0

  40. Scrivi l’equazione della circonferenza di centro C(1;4), passante per A(2; -1) e disegnala. Determina poi l’equazione della retta tangente alla circonferenza in A.

  41. Determina e rappresenta graficamente l’equazione della circonferenza di diametro AB, con A(-3; 4) e B(1;1).

  42. In un piano è dato un segmento AB di misura 4 rispetto ad una fissata unità di misura u; trovare, rispetto ad un sistema di assi cartesiani ortogonali opportunamente scelto, l’equazione…

  43. In un piano è dato un segmento AB di misura 4 rispetto ad una fissata unità di misura u; trovare, rispetto ad un sistema di assi cartesiani ortogonali opportunamente scelto, l’equazione del luogo dei punti P di tale piano per cui il perimetro del triangol

  44. Determinare $a$ e $b$ in modo che l’iperbole di equazione $(x^2)/(a^2)-(y^2)/(b^2)=1$ passi

  45. Scrivere l’equazione di un’iperbole sapendo che i suoi vertici sono i punti $A_1(4;0), A_2(-4;0)$ e

  46. Dal punto $(-4;2)$ condurre le tangenti all’ellisse $(x^2)/9+y^2=1$.

  47. Scrivere l’equazione dell’ellisse avente per vertici i punti $(+-5;0)$ e per fuochi i punti $(+-3;0)

  48. Scrivere l’equazione di un’ellisse riferita riferita ai propri assi di simmetria sapendo

  49. Un’ellisse di semiassi $3$ e $sqrt2$ è riferita al centro e ai suoi assi; scriverne l’equazione.

  50. Determinare le coordinate dei vertici e dei fuochi dell’ ellisse avente la seguente equazione: