Costruire la bisettrice di un angolo

In questo appunto di geometria riportiamo la costruzione della bisettrice di un angolo utilizzando un software open source. Prima di esporre la procedura grafica vediamo cosa è la bisettrice, qual è la sua definizione geometrica e i teoremi.

Cosa è la bisettrice di un angolo

In geometria si incontra spesso il termine luogo geometrico, con queste due parole si intende un insieme di punti del piano che godono tutti della stessa proprietà. Ecco alcuni luoghi geometrici notevoli: l'asse di un segmento, la circonferenza, la parabola, l'ellisse. La bisettrice di un angolo è una semiretta la cui origine si trova nel vertice dell’angolo e lo divide in due parti congruenti, cioè tracciando la bisettrice otteniamo due angoli che hanno la stessa ampiezza. Ad esempio se l'angolo iniziale misura 80° la sua bisettrice darà origine a due angoli di 40° e così via.
Abbiamo introdotto la definizione di un luogo geometrico perché anche la bisettrice lo è: la bisettrice di un angolo è il luogo dei punti del piano la cui proprietà è quella di essere equidistanti dai lati dell'angolo.
Cosa significa questa definizione?
La definizione esprime la proprietà dei punti della bisettrice cioè tutti i punti che appartengono a questa semiretta la devono verificare. Scegliendone uno qualsiasi si dimostra che la sua distanza da entrambi i lati dell'angolo è la stessa.

Esiste un’unica bisettrice per ogni angolo

Ricordiamo che l’angolo in geometria è definito come ciascuna delle due parti del piano in cui due semirette aventi l'origine in comune lo dividono.
Quando su di un piano fissiamo un punto e da esso tracciamo due semirette, abbiamo disegnato un angolo e abbiamo diviso il piano in due parti; quella contenente i prolungamenti delle due semirette è l’angolo concavo, quella compresa tra le due semirette è l'angolo convesso.
Tracciando la bisettrice dell'angolo convesso essa lo è anche per l'angolo concavo quindi la bisettrice di un angolo è unica.
Ritornando al nostro esempio se l'angolo convesso è ampio 80° il suo esplementare concavo misura 280°. La bisettrice dividerà quest'ultimo in due angoli congruenti ciascuno di ampiezza 140°.
Per ulteriori approfondimenti su angolo concavo e convesso vedi qua

Proprietà della bisettrice di un angolo

In un qualsiasi triangolo si possono tracciare tre bisettrici relative ai suoi angoli interni. Il punto di intersezione delle tre semirette che contengono le bisettrici è uno dei punti notevoli dei triangoli. Questo punto prende il nome di incentro, gli altri punti sono l’ortocentro, il circocentro, è il baricentro.
Le bisettrici degli angoli opposti al vertice sono tra loro perpendicolari.
Per dimostrare che i punti della bisettrice sono equidistanti dai lati si utilizza il secondo criterio di congruenza generalizzato dei triangoli rettangoli. Preso un punto qualsiasi della bisettrice, e condotte le perpendicolari ai lati dell’angolo, si formano due triangoli rettangoli che hanno l’ipotenusa in comune perché si trova sulla bisettrice, hanno i due angoli al vertice di uguale ampiezza per definizione della semiretta bisettrice e i due angoli retti perche abbiamo mandato le perpendicolari ai lati dell’angolo dal punto scelto. Avendo dimostrato che i due triangoli sono congruenti lo sono Tutti i loro elementi corrispondenti e in particolare i segmenti che rappresentano le distanze. Si dimostra così che i punti della bisettrice sono equidistanti dai lati dell'angolo.

Costruzione della bisettrice con GeoGebra

Si mostra come costruire la bisettrice di un angolo con il software open source Geogebra

1. Dall'Icona n.3 della barra degli strumenti, attiva lo strumento "Semiretta per due punti" e disegna le due semirette che compongono l'angolo:

2. Dall'Icona n.5, attiva "Circonferenza di dato centro" indica il vertice dell'angolo come centro della circonferenza e poi indica un altro punto qualsiasi come secondo estremo per tracciare la circonferenza:

3. Dall'Icona n.2 attiva lo strumento "Intersezione di due oggetti" e segna con il mouse i due punti di intersezione della circonferenza con le semirette:

4. Dall'Icona n.5 attiva lo strumento "Circonferenza dati centro e raggio", clicca su un punto di intersezione circonferenza-semiretta, nella finestra che si apre inserisci 4 come misura del raggio:

5. Ripeti il procedimento con l'altro punto di intersezione circonferenza-semiretta, avendo cura di assegnare lo stesso raggio di lunghezza 4

6. Dall'Icona n.2 attiva "Intersezione di due oggetti" e fai clic sul punto di intersezione delle due ultime circonferenze disegnate:

7. Dall'Icona n.3 attiva "Semiretta per due punti" e traccia la semiretta che ha origine nel vertice dell'angolo e passa per il punto ottenuto al passo precedente:

8. Dall'Icona n.10 attiva "Mostra/Nascondi oggetto" e clicca con il mouse sugli elementi della costruzione da nascondere, fino a lasciare soltanto i due lati dell'angolo e la bisettrice:

9. Fai clic sull'Icona n.1 e gli elementi indicati al passo precedente saranno nascosti:

10. Dall'Icona n.7 attiva lo strumento "Angolo" e fai clic prima su una delle due semirette e poi sulla bisettrice, in questo modo verrrà indicato l'angolo compreso tra le due semirette e sarà indicata anche la misura dell'angolo. Se viene indicato l'angolo concavo invece di quello convesso, puoi modificare questa scelta facendo clic con il tasto destro del mouse sull'angolo e dal menu contestuale che appare scegli la voce "Proprietà", come mostrato in figura:

11. Nella successiva finestra che si apre, togli la spunta alla voce "permetti angolo concavo"

12. Ripeti lo stesso procedimento per l'altro angolo. Se la costruzione è stata effettuata correttamente le misure dei due angoli risulteranno uguali:

13. Infine dall'Icona n.1 attiva lo strumento "Muovi" e con il mouse trascina il vertice dell'angolo: l'angolo cambierà di dimensioni ma la bisettrice continuerà a dividerlo sempre in due parti uguali.

Misure degli angoli gradi e radianti

Come tutte le grandezze anche gli angoli hanno la loro unità di misura. La grandezza di un angolo si definisce attraverso la sua ampiezza.
Ci sono due tipi di unità per misurare gli angoli; possiamo usare i gradi, oppure i radianti.
Quando l’ampiezza di un angolo è espressa in gradi si dice che si sta usando il [url= https://www.skuola.net/matematica/trigonometria/angoli-gradi-radiant.html]sistema sessagesimale[/url] perché per passare da un’unità all’altra si va di 60 in 60 come il sistema di misura del tempo. Abbiamo infatti: un’ora è uguale a 60 minuti, un minuto è uguale a 60 secondi.
La misura degli angoli è espressa in gradi primi e secondi.
Un grado di angolo è uguale a 60 primi e un primo è uguale a 60 secondi.
Il sistema di misura basato sul grado e i suoi sottomultipli è stato utilizzato per la prima volta dai babilonesi, per applicazioni alle scienze astronomiche.
La misura degli angoli in radianti ha come unità il radiante. Questo è definito come l’ampiezza dell'angolo di circonferenza il cui arco è uguale al raggio della circonferenza stessa. Ricordiamo che i radianti esprimono il rapporto tra la lunghezza dell'arco di circonferenza rettificata che delimita l’angolo al centro e la lunghezza del raggio della circonferenza.
Per ulteriori approfondimenti su radianti e gradi vedi qua.