Bicorno

Grafico e codice per ottenere il bicorno con Gnuplot

curva_bicorno.png

# Bicorno.
# Equazione parametrica:
# x = a sin(t)
# y = a cos^2(t)/(2-cos(t))
#
set terminal png medium size 480,480
set output "bicorno.png"
set parametric
set size ratio 1
plot sin(t), cos(t)**2/(2-cos(t)) notitle with line lc "black" lw 2
set output

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Ci sono 6 commenti su questo articolo:

  1. L’area della superficie del bicorno di equazione
    y=(9-x^2):sad:6-radice(9-x^2)
    è uguale a
    integrale da -3 a +3 di
    ((9-x^2):sad:6-radice(9-x^2))dx=
    A(s) =10,8902365u^2
    meno integrale da -3 a +3 di
    ((9-x^2):sad:6+radice(9-x^2))dx=
    A(i) =4,17213299u^2.
    (10,8902365-4,17213299)=
    =6,71281035u^2.
    Le relative primitive degli integrali non sono di facile determinazione,per cui i valori sono stati determinati con l’ausilio di un calcolatore.
    La lunghezza della curva superiore del “bicorno”,per a=3,è uguale all’integrale da -3 a +3 di
    radice (1+(y’)^2).dx=
    radice(1+((9x-x^3-12radice di
    (9-x^2)):sad:radice(9-x^2)per
    (6-radice(9-x^2))^2)^2)dx=
    =8,715826u=L(sup).
    La lunghezza della curva inferiore del bicorno è uguale a
    integrale da -3 a + 3 di
    (1+((x^3-9x-12xradice(9-x^2)):
    (radice(9-x^2)per(6+radice
    (9-x^2))^2)2)dx=
    6,453758u=L(inf).
    Pertanto il perimetro del bicorno è uguale a
    8,71582+6,453758=15,169578u.
    Il volume del solido,generato dalla rotazione della parte superiore del bicorno intorno all’asse x ,è uguale a pgreco per integrale da -3 a +3 di ((9-x^2):sad:6-radice
    (9-x^2)))^2.dx=
    V(s)=79,2868833u^3.
    Il volume del solido,generato dalla rotazione della parte inferiore del bicorno intorno all’asse x ,è uguale a pgreco per integrale da -3 a +3 di ((9-x^2):sad:6-radice(9-x^2)))^2
    V(i) =10,6502272u^3.
    Pertanto il volume del solido,generato dalla rotazione del “bicorno” intorno all’asse x, è uguale a 79,286883-10,650227=
    =68,636659u^3.
    Il baricentro della parte superiore del bicorno è uguale
    a y(Gs)=V(s):2pgreco.A(s)=
    79,286633:2pgreco(4,172133)=
    =1,158735u.
    Baricentro della parte inferiore del bicorno è uguale a
    y(Gi)=V(i):2pgreco(A(i)=
    10,6502272:2pgreco(4,172133)=
    =0,406275u.
    L’area della superficie del solido,generato dalla rotazione della parte superiore del bicorno intorno all’asse x è uguale a
    A(Sr)=3pgreco(y(Gs)L(s)=
    3pgreco(1,15873)8,871826=
    =95,1839677u^2.
    L’area della superficie del solido ,generato dalla rotazione della parte inferiore del bicorno intorno all’asse x è uguale a
    A(i)=3pgeco.y(Gi)L(i)=
    3pgreco(0,40627)(6,45378)=
    =24,7117728u^2.
    L’area della superficie del solido,generato dalla rotazione del bicorno intorno all’asse x è uguale a
    A(S)+(Ai)=
    =95,1839677+24,7117728=
    =119,8957405u^2.

  2. ERRATA CORRIGE.
    Nel riportare la derivata seconda della funzione nel commento del 19.11.2011,non
    di facile determinazione,
    ho commesso degli errori , in quanto è la seguente:
    (2a-radice(a^2-x^2))(a^2-4a.
    .radice(a^2-x^2))+4ax^2))/
    radice di(a^2-x^2)per
    (2a-radice(a^2-x^2))^3.
    Per a=3 , la derivata seconda nel punto x=1,2,y=2,325828529,
    è uguale -60,713178/94,42635=
    -0,6429686 e non -2,5484785!

  3. La derivata seconda del bicorno, la cui determinazione richiede operazioni più complesse della derivata prima ,è
    y”=-((2a-radice(a^2-x^2)).
    (4a.radice(a^2-x^2)+3x^2+a^2))+2ax^2)),il tutto diviso(radice(a^2-x^2)(2a-radice di(a^2-x^2)).
    Per a=3,x=1,2,(y=2,3258285),
    del punto della curva superiore ,
    y’=-1,0506455, y”=-2,5484785.
    L’equazione della tangente è
    y=-1,0506455(x-1,2)+2,3258285=
    =-1,0506455x+3,5865.
    Determinate la I^ e la II^ derivata ,è facile determinare le coordinate del
    raggio di curvatura ed il raggio del cerchio osculatore
    nel punto .

  4. Errata corrige:
    y’=-x(4a-radice(a^2-x^2)):sad:(2a-,+radice(a^2-x^2))^2,(denominatore al quadrato)!.

  5. La derivata prima dell’equazione cartesiana del bicorno,non di facile determinazione,in quanto richiede un complesso di operazioni ,è
    y’=-x(4a-radice(a^2-x^2)):sad:2a -,+ radice(a^2-x^2)),
    – della curva superiode ,
    + della curva inferiore.
    (-a , +a)è la lunghezza del bicorno o”campo di esistenza”,
    essendo il “bicorno” simmetrico rispetto agli assi cartesiani x,y.

  6. Equazione cartesiana del
    “bicorno”.
    Cor riferimento all’equazione parametrica ,
    sent=x/a=radice di(1-(cost)2);
    (cost)^2=
    (1-x^2/a^2=(a^2-x^2):a^2 ;
    cost=+,-radice((a^2-x^2):a^2)= +,-(1/a)radice (a^2-x^2).
    sostituendo, y=
    (a^2-x^2):sad:(2a(+,-)radice di (a^2-x^2)).
    Per a=3 ,
    y=(9-x^2):sad:6+,-radice(9-x^2));
    si ha un bel cappello di Napoleone, simmetrico rispetto agli assi cartesiani,
    di sei unità per tre.