Bisaccia

curva_bisaccia.png

# Bisaccia.
# Equazione parametrica:
# x = a cos(t) – b sin(t)
# y = -x sin(t)
#
set terminal png medium size 480,480
set output "bisaccia.png"
set parametric
set size ratio 1
set zeroaxis ls 1
set xtics ("-a=-1" -1, "0" 0, "a=1" 1)
a = 1
b = 1
plot a*cos(t)-b*sin(t), -sin(t)*(a*cos(t)-b*sin(t))
notitle with line lc "black" lw 2
set output

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  1. SUPERFICIE della
    “curva a bisaccia”
    di equazione
    (2x^2+,-3x.radice(52-3x^4):26=
    2.integrale da -2 a 0
    (2x^2+3x.radice(52-3x^4):26+
    2.integrale da 0 a 2
    (2x^2+3x.radice(52-3x^4):26.
    Premesso che la primitiva di
    x.radice(52-3x^4)
    è impossibile determinarla ;
    usando un calcolatore,abbiamo
    3,10572718976+2,28521436924=
    =5,390941558u^2.

  2. Della parte di BISACCIA di equazione
    y=(2x^2+3x.radice(52-3x^4))/26
    le derivate I^ e II^ sono
    y’=(4x.radice(52-3x^4)+
    -27x^4+156):26;
    y”=(2.radice(52-3x^4)^3+
    -2340x^3+156x^7):13radice(52+3x^4)^3,per
    a=6; b=4; a^2+b^2=52.
    Ciò premesso ,
    PERIMETRO della BISACCIA=
    2.integrale da -2 a 2 di
    radice(1+(f'(x)^2);sostituendo
    =2.integrale da -2 a +2 di
    (1+(4x.radice(52-3x^4)-+27x^4+156)^2);con l’ausilio di un calcolatore,=10,888393u.

    DERIVATA I^in P(x(p)=1,9;y(p)=
    2(1,9)^2+3(1,9)radice(52+
    -3(1,9)^4)):26=1.065206948),
    y'(P)=(4(1,9)radice di
    (52-3(1,9)^4)-27(1,9)^4+156)/
    26=-1,804845 .

    EQUAZIONE della tangente in P.
    y=-1,804845(x-1,9)+1,06520695=
    -1,804845x+4,49441245.

    PERPENDICOLARE alla tangente in P.y=(1/1,804845)(1-1,9)+
    +1,06520695=
    0,5540642x+0,0124845.

    DERIVATA II^in P ,(x(P)=1,9 ;
    y(P)=1,065206948).
    y”(P)=(2.radice(52-3x^4)^3-
    +2340x^3+156x^7)/13radice(52-+3x^4)^3=(sostituendo x(P))=
    -14,466116u.

    COORDINATE del centro di curvatura in P. x(c)=
    =x(P)-y'(P)/y”(P)(1+(y'(P)^2)=
    1,9-1,804845/14,466116(1+
    +(1,804845)^2)=1,36882256u;
    y(c)=y(P)+1/y”(P)(1+(y'(P)^2)=
    =1,065206948-(1/-14,46616)(1+
    +(1,804845)^2)=0,75776432u.

    RAGGIO di curvatura in P.
    R(c)=(1+(y'(P)^2)^(3/2))/y”(P)
    =(1+(1,804845)^2)^(3/2)+
    -14,46616 =0,60726012.
    Tale risultato si può ottenere
    in funzione delle coordinate di R(c)=x(c) e y(c) e di
    P ( x(P), y(P).
    R(c)=radice((x(P)-x(c))^2+
    +(y(P)-y(c))^2) =(sostituendo)
    =0,60726012u.

  3. ERRATA CORRIGE:
    sostituire radice(n-3x^4) a radice(n-x^2)e radice(n-x^4),
    trascritte erroneamente.
    Ciò premesso,la derivata II^ della “Bisaccia” di equazione
    y=(bx^2+,-ax.radice(n-3x^4))/n,
    derivando la derivata I^,è
    y”=2((b.radice(n-3x^4)^3+,-3ax^3(+,-9x^4-,+5n))/n.radice(n-3x^4)^3,per n=(a^2+b^2);
    mentre la derivata I^,tenendo presente i segni +,-, è
    y’=((2bxradice(n-3x^4)+,-9ax^4
    -,+an))/n.radice(n-3x^4).

  4. Derivata prima della “curva bisaccia” di equazione
    (1/(a^2+b^2)(2bx+,-a((a^2+b^2-3x^4)/radice(a^2+b^2-x^4)).
    Dimostrazione.
    Ammesso (a^2+b^2)=n ,
    y=(1/n).((bx^2+,-ax.radice(n-x^4));
    (1/n)(((d/dx)(bx^2+,- ((d/dx)ax.radice(n-x^4))=
    (1/n)((2bx+,-a(x(d/dx)(n-x^4)/
    2radice(n-x^4)+
    +radice(n-x^4).(d/dx)x))=
    (1/n)(2bx+,-a((-2x^4/radice(n-x^4)+radice(n-x^4))=
    (1/n)(2bx+,-a((-2x^4+(n-x^4)/
    radice(n-x^4))=
    sostituendo,
    1/(a^2+b^2)((2bx+,-a(a^2+b^2-3x^4)/radice((a^2+b^2-x^4))=
    y’ della “curva bisaccia”.
    Della “curva bisaccia” ,y=
    y=(1/26)((2x^2+,-3x.radice(52-x^4)); derivata prima=
    y’=(1/26)((4x+,-3((52-3x^4)/
    radice(52-x^4)).

  5. Dimostriamo che l’equazione cartesiana della ” curva bisaccia” è
    y=((bx^2+,-ax.radice(a^2+b^2-x^2)):sad:a^2+b^2).Premesso che
    sent=-y/x=radice(1-(cost)^2);
    cost=+,-radice(1-y^2/x^2);
    +,-(a/x).radice(x^2-y^2)=x-by/x.Sostituendo,x=
    +,-a.radice(1-y^2/x^2)+dy/x;
    Elevando al quadrato ,
    a^2(x^2-y^2)/x^2=
    =x^2-2by+b^2y^2/x^2 ;
    (a^2+b^2)y^2-(2bx^2).y+(x^4-a^2.x^2)=0 ; risolvendo
    y=((bx^2+,-ax.radice(a^2+b^2-x^2)):sad:a^2+b^2),equazione cartesia della
    “curva bisaccia”.
    Per a=6 ,b=4,si ha una bella
    “curca bisaccia”
    di equazione y=
    =((2x^2+,-3x.radice(52-3x^4)):26