Alcuni modelli stocastici

I processi AUTOREGRESSIVI

Sia {Zt, t $\in$ T}, sia εt un processo white noise WN(0, σ2), allora:

ZttZt-1t

rappresenta un processo autoregressivo del primo ordine AR(1);

Zt1Zt-12Zt-2t

rappresenta un processo autoregressivo del secondo ordine AR(2);

Zt1Zt-12Zt-2+…+ΦpZt-pt

rappresenta un processo autoregressivo del generico ordine p AR(p), dove Φ12,…,Φp  sono i parametri del modello AR da stimare. Tali processi sono stazionari solo se i parametri soddisfano determinate condizioni, ovvero sono in modulo maggiori di 1. Di solito si suppone che la variabile di white noise sia di tipo gaussiano al fine di stimare i parametri in base al metodo della massima verosimiglianza.

I processi MOVING AVERAGE

Sia {Zt, t $\in$ T}, sia at un processo white noise WN(0, σ2), allora:

Zt=at-θat-1

rappresenta un processo a media mobile del primo ordine MA(1);

Zt=at1at-12at-2

rappresenta un processo a media mobile del secondo ordine MA(2);

Zt=at1at-12at-2-…-θqat-q

rappresenta un processo a media mobile del generico ordine q, dove θ1, θ2,…,θq sono i parametri del modello MA da stimare. Tali processi sono sempre stazionari. Di solito si suppone che la variabile di white noise sia di tipo gaussiano al fine di stimare i parametri in base al metodo della massima verosimiglianza.

I processi ARMA

Un processo ARMA è dato dalla combinazione tra un processo AR(p) e un processo MA(q): 

Zt1Zt-12Zt-2+…+ΦpZt-p+at1at-12at-2-…-θqat-q,

Z ~ ARMA(p, q)  è un processo autoregressivo media mobile di ordine (p,q), dove Φ1, Φ2,…,Φe θ1, θ2,…,θq sono i parametri del processo ARMA da stimare. Il processi ARMA sono stazionari solo se si verificano alcune condizioni.

 

Commenti

commenti