Matematica dolce – Edizione 2017

Testo di matematica in cinque volumi per le scuole di secondo grado a cura di Daniele Zambelli. Matematica dolce è un progetto collaborativo open-source. Trovi tutti i dettagli dell’iniziativa e le istruzioni per partecipare all’indirizzo https://bitbucket.org/zambu/matematicadolce

Indice del primo volume

Prefazione v
Prefazione alla seconda edizione vii
Prefazione all’edizione 2016 vii
Prefazione all’edizione 2017 vii

I Aritmetica e Algebra 1

1 Numeri naturali 3
1.1 L’origine dei numeri 3
1.2 I numeri naturali 4
1.3 Cosa sono 4
1.4 Il sistema di numerazione decimale posizionale 5
1.4.1 Rappresentazione geometrica 6
1.5 Operazioni con i numeri naturali 6
1.5.1 Proprietà delle operazioni 6
1.5.2 Addizione in N 7
1.5.3 Sottrazione in N 7
1.5.4 Moltiplicazione in N 8
1.5.5 Divisione in N 9
1.5.6 Proprietà distributiva 11
1.6 Potenza 11
1.6.1 Proprietà delle potenze 12
1.7 Espressioni numeriche 13
1.7.1 Soluzione con grafo ad albero 14
1.7.2 Metodo sequenziale 16
1.8 Espressioni con un buco 17
1.8.1 Soluzione con grafo ad albero 17
1.8.2 Soluzione sequenziale 20
1.9 Divisibilità e numeri primi 21
1.9.1 Divisori, numeri primi, numeri composti 22
1.10 Scomposizione in fattori primi 25
1.10.1 Scomposizione con un grafo ad albero 25
1.10.2 Scomposizione con un metodo sequenziale 26
1.11 Massimo Comune Divisore e minimo comune multiplo 26
1.12 Esercizi 29
1.12.1 Esercizi dei singoli paragrafi 29
1.12.2 Esercizi riepilogativi 35
2 Numeri interi relativi 37″>”2 Numeri interi relativi 37
2.1 I numeri che precedono lo zero 37
2.2 I numeri relativi e la retta 38
2.3 Confronto di numeri relativi 39
2.4 Le operazioni con i numeri relativi 39
2.4.1 Addizione 39
2.4.2 Sottrazione 40
2.4.3 Somma algebrica 41
2.4.4 Moltiplicazione 41
2.4.5 Divisione 42
2.4.6 Potenza di un numero relativo 43
2.4.7 Le proprietà delle operazioni nell’insieme dei numeri relativi 43
2.5 Esercizi 44
2.5.1 Esercizi dei singoli paragrafi 44
2.5.2 Esercizi riepilogativi 48
3 Numeri razionali 53
3.1 Premessa storica 53
3.2 Frazioni 54
3.3 Dalle frazioni ai numeri razionali 57
3.4 La scrittura dei numeri razionali 59
3.4.1 Numeri periodici particolari 62
3.5 I numeri razionali e la retta 62
3.6 Confronto tra numeri razionali 63
3.7 Le operazioni con i numeri razionali 64
3.7.1 Addizione 64
3.7.2 Sottrazione di frazioni 66
3.7.3 Moltiplicazione 66
3.7.4 Operazione inversa e aritmetica dell’orologio 67
3.7.5 Divisione 68
3.8 Potenza di una frazione 69
3.8.1 Potenza con esponente uguale a zero 70
3.8.2 Potenza con esponente un numero intero negativo 70
3.9 Notazione scientifica e ordine di grandezza 70
3.9.1 Come trasformare un numero in notazione scientifica 71
3.9.2 Ordine di grandezza 73
3.10 Problemi con le frazioni 73
3.10.1 Problemi diretti 73
3.10.2 Problemi inversi 74
3.11 Le percentuali 74
3.11.1 Problemi con le percentuali 75
3.11.2 Problemi con gli sconti 75
3.12 Proporzioni 76
3.12.1 Calcolo di un medio o un estremo incognito 77
3.13 Espressioni con le frazioni 78
3.14 Esercizi 81
3.14.1 Esercizi dei singoli paragrafi 81
3.14.2 Esercizi riepilogativi 98
4 Calcolo letterale 105
4.1 Espressioni letterali e valori numerici 105
4.1.1 Lettere per esprimere formule 105
4.1.2 Lettere per descrivere schemi di calcolo 105
4.1.3 Lettere per esprimere proprietà 106
4.1.4 Valore numerico di un’espressione letterale 106
4.1.5 Condizione di esistenza di un’espressione letterale 107
4.2 I monomi 108
4.2.1 Definizioni 108
4.2.2 Valore di un monomio 111
4.2.3 Moltiplicazione di monomi 111
4.2.4 Potenza di un monomio 112
4.2.5 Divisione di due monomi 113
4.2.6 Addizione di due monomi 114
4.2.7 Espressioni con i monomi 115
4.2.8 Massimo Comune Divisore e minimo comune multiplo tra monomi 116

4.3 Polinomi 119
4.3.1 Definizioni fondamentali 119
4.3.2 Somma algebrica di polinomi 121
4.3.3 Prodotto di un polinomio per un monomio 121
4.3.4 Quoziente tra un polinomio e un monomio 121
4.3.5 Prodotto di polinomi 122
4.4 Prodotti notevoli 122
4.4.1 Quadrato di un binomio 123
4.4.2 Quadrato di un polinomio 123
4.4.3 Prodotto della somma fra due monomi per la loro differenza 124
4.4.4 Cubo di un binomio 124
4.4.5 Potenza n-esima di un binomio 125
4.5 Esercizi 127
4.5.1 Esercizi dei singoli paragrafi 127
4.5.2 Esercizi riepilogativi 146
II Geometria 149
5 Nozioni fondamentali 151
5.1 Introduzione alla geometria razionale 151
5.1.1 Breve nota storica 151
5.1.2 Lo spazio fisico e la geometria 152
5.2 Il metodo assiomatico, i concetti primitivi e le definizioni 152
5.2.1 I teoremi 153
5.2.2 Postulati e assiomi 154
5.3 Prime definizioni 159
5.3.1 Semirette e segmenti 159
5.3.2 Semipiani e angoli 162
5.4 Confronto e operazioni tra segmenti e angoli 165
5.4.1 Premessa intuitiva 165
5.4.2 La congruenza 166
5.4.3 Costruzioni riga e compasso 168
5.4.4 Confronto di segmenti 170
5.4.5 Confronto di angoli 170
5.4.6 Operazioni con i segmenti 172
5.4.7 Operazioni con gli angoli 177
5.4.8 Angoli particolari 179
5.4.9 Perpendicolari e altre definizioni 182
5.5 Poligoni e poligonale 185
5.5.1 Poligono 185
5.6 Esercizi 189
5.6.1 Esercizi dei singoli paragrafi 189
6 Congruenza nei triangoli 199
6.1 Definizioni relative ai triangoli 199
6.2 Criteri di congruenza dei triangoli 202
6.3 Teoremi del triangolo isoscele 204
6.4 Esercizi 207
6.4.1 Esercizi riepilogativi 207
7 Il piano cartesiano 211
7.1 Un po’ di storia 211
7.2 Asse cartesiano 211
7.3 Piano cartesiano 212
7.4 Problemi nel piano cartesiano 214
7.4.1 Punto medio di un segmento 214
7.4.2 Lunghezza di un segmento 215
7.4.3 Area sottesa a un segmento 216
7.4.4 Area di un triangolo 218
7.5 Esercizi 220
7.5.1 Esercizi dei singoli paragrafi 220
7.5.2 Esercizi riepilogativi 220
III Relazioni e funzioni 223
8 Insiemi 225
8.1 Definizioni 225
8.1.1 Elementi primitivi della teoria degli insiemi 225
8.1.2 Insieme vuoto 226
8.1.3 Cardinalità 227
8.2 Rappresentazione degli insiemi 227
8.2.1 Rappresentazione tabulare 227
8.2.2 Rappresentazione per proprietà caratteristica 228
8.2.3 Rappresentazione grafica (Diagramma di Venn) 229
8.3 Operazioni con gli insiemi 229
8.3.1 Sottoinsieme 229
8.3.2 Insieme delle parti 231
8.3.3 Insieme unione 232
8.3.4 Insieme intersezione 233
8.3.5 Proprietà distributiva 234
8.3.6 Insieme differenza 234
8.3.7 Insieme complementare 235
8.3.8 Leggi di De Morgan 236
8.3.9 Prodotto cartesiano fra insiemi 237
8.4 I diagrammi di Eulero-Venn come modello di un problema 239
8.5 Esercizi 242
8.5.1 Esercizi dei singoli paragrafi 242
8.5.2 Esercizi riepilogativi 250
9 Identità, equazioni 257
9.1 Identità ed equazioni 257
9.1.1 Ricerca dell’insieme soluzione 259
9.2 Prinicipi di equivalenza 259
9.2.1 Risoluzione di equazioni numeriche intere di primo grado 260
9.3 Equazioni a coefficienti frazionari 262
9.3.1 Equazioni in cui l’incognita compare con grado maggiore di 1 262
9.3.2 Equazioni in cui l’incognita scompare 263
9.3.3 Riassunto 263
9.4 Problemi di I grado in un’incognita 264
9.4.1 Un po’ di storia e qualche aneddoto 264
9.5 Esercizi 269
9.5.1 Esercizi dei singoli paragrafi 269
9.5.2 Problemi dalla realtà 275
9.5.3 Problemi di geometria 277
10 Relazioni e funzioni 279
10.1 Proposizioni e predicati 279
10.2 Relazioni in un insieme 279
10.2.1 Proprietà delle relazioni 280
10.2.2 Relazioni di equivalenza 282
10.2.3 Relazioni di ordine 284
10.3 Funzioni 284
10.3.1 Funzioni: definizioni 284
10.3.2 Il grafico di una funzione 286
10.3.3 Proporzionalità diretta e inversa 288
10.3.4 Funzioni particolari 291
10.4 Esercizi 293
10.4.1 Esercizi dei singoli paragrafi 293
IV Dati e previsioni 301
11 Statistica descrittiva 303
11.1 Indagine statistica 303
11.2 Fasi di un’indagine statistica 304
11.2.1 Spoglio delle schede e tabulazione 305
11.2.2 Rappresentazione grafica 307
11.3 Indici di posizione 312
11.3.1 Moda 312
11.3.2 Media aritmetica 313
11.3.3 Mediana 314
11.4 Esercizi 316
11.4.1 Esercizi dei singoli paragrafi 316
11.4.2 Esercizi riepilogativi 322
V Elementi di informatica 329
12 Foglio di calcolo 331
12.1 Avviamo “Calc” 331
12.2 Celle, colonne, righe… il foglio di calcolo 332
12.3 Formati e ordinamenti 334
12.4 Copiare in modo intelligente 336
12.5 Diagrammi 338
12.6 Esercizi 340
13 Geometria interattiva 1 341
13.1 Introduzione 341
13.1.1 Installiamo un interprete 341
13.1.2 Riassumendo 342
13.2 Elementi fondamentali 342
13.2.1 Un piano vuoto 343
13.2.2 Oggetti di base 345
13.2.3 Intersezioni 347
13.2.4 Altri oggetti primitivi 348
13.2.5 Poligoni 349
13.2.6 Riassumendo 351
13.3 Altri problemi 352

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Indice del secondo volume

Prefazione v
Prefazione alla seconda edizione vii
Prefazione all’edizione 2016 alla seconda edizione vii
Prefazione all’edizione 2017 vii
I Aritmetica e Algebra1
1 Numeri reali 3
1.1 Dai numeri naturali ai numeri irrazionali 3
1.2 I numeri reali 5
1.3 Valore assoluto 7
1.3.1 Proprietà del valore assoluto 8
1.4 Esercizi 9
1.4.1 Esercizi dei singoli paragrafi 9
2 Radicali 11
2.1 Definizioni 11
2.1.1 Osservazioni sulle potenze 11
2.1.2 Radici quadrate 12
2.1.3 Radici cubiche 12
2.1.4 Radici n-esime 13
2.2 Condizioni di esistenza 13
2.3 Potenze ad esponente razionale 15
2.4 Semplificazione di radici 16
2.5 Moltiplicazione e divisione di radici 18
2.5.1 Moltiplicazione e divisione di radici con lo stesso indice 18
2.5.2 Moltiplicazione e divisione di radici con indici diversi 19
2.6 Portare un fattore sotto il segno di radice 19
2.7 Portare un fattore fuori dal segno di radice 20
2.8 Potenza di radice e radice di radice 21
2.9 Somma di radicali 22
2.10 Razionalizzazione del denominatore di una frazione 23
2.11 Equazioni, disequazioni e sistemi a coefficienti irrazionali 24
2.11.1 Equazioni di primo grado 24
2.11.2 Disequazioni di primo grado 25
2.11.3 Sistemi di primo grado 25
2.12 Esercizi 26
2.12.1 Esercizi dei singoli paragrafi 26
II Geometria 33
3 Il piano cartesiano 35
3.1 Un po’ di storia 35
3.2 Asse cartesiano 35
3.3 Piano cartesiano 36
3.4 Problemi nel piano cartesiano 38
3.4.1 Punto medio di un segmento 38
3.4.2 Lunghezza di un segmento 39
3.4.3 Area sottesa a un segmento 40
3.4.4 Area di un triangolo 42
3.5 Esercizi 44
3.5.1 Esercizi dei singoli paragrafi 44
3.5.2 Esercizi riepilogativi 44
4 Rette nel piano cartesiano 47
4.1 Equazioni lineari in due variabili 47
4.2 Equazioni della retta 48
4.3 Come disegnare le rette 50
4.4 Coefficienti dell’equazione esplicita 50
4.4.1 Il coefficiente angolare 51
4.4.2 Disegno rapido 52
4.5 Rette parallele e perpendicolari 52
4.6 Retta per due punti 53
4.7 Fasci di rette 55
4.7.1 Formula della retta per due punti 55
4.8 Distanza punto retta 55
4.9 Intersezione di rette 56
4.10 Esercizi 58
4.10.1 Esercizi dei singoli paragrafi 58
4.10.2 Esercizi riepilogativi 64
5 Rette parallele 65
5.1 Rette parallele 65
5.1.1 Rette parallele tagliate da una trasversale 66
5.2 Somma degli angoli interni di un triangolo 68
5.3 Somma degli angoli interni di un poligono 69
5.4 Generalizzazione dei criteri di congruenza dei triangoli 69
5.4.1 Congruenze di triangoli rettangoli 71
5.5 Disuguaglianze tra gli elementi di un triangolo 72
5.6 Esercizi 76
5.6.1 Esercizi dei singoli paragrafi 76
6 Quadrilateri 83
6.1 Generalità sui quadrilateri 83
6.1.1 Distanza di un punto da una retta e altezza di una striscia di piano 83
6.1.2 Generalità sui poligoni 83Indice v
6.2 Trapezio e deltoide 84
6.2.1 Proprietà del trapezio 85
6.2.2 Proprietà del deltoide 86
6.3 Proprietà dei parallelogrammi 86
6.4 Parallelogrammi particolari 89
6.5 Esercizi 93
6.5.1 Esercizi riepilogativi 93
7 Equiestensione e aree 97
7.1 Estensione superficiale 97
7.2 Poligoni equivalenti 100
7.3 Aree dei principali poligoni 104
7.3.1 Area del rettangolo 104
7.3.2 Area del quadrato 104
7.3.3 Area del parallelogramma 104
7.3.4 Area del triangolo 105
7.3.5 Area del trapezio 105
7.3.6 Area del rombo 105
7.4 Teoremi di Pitagora e di Euclide 106
7.5 Applicazioni dei teoremi di Euclide e Pitagora 107
7.6 Applicazioni dell’algebra alla geometria 109
7.6.1 Triangoli rettangoli con angoli di 45° 109
7.6.2 Triangoli rettangoli con angoli di 30° e 60° 109
7.6.3 Formula di Erone per il calcolo dell’area di un triangolo 110
7.7 Esercizi 111
7.7.1 Esercizi dei singoli paragrafi 111
8 Trasformazioni con la geometria interattiva 115
8.1 Caratteri generali 115
8.1.1 Strumenti di pyig 115
8.2 Traslazione 116
8.2.1 Definizione 116
8.2.2 Proprietà 117
8.2.3 Elementi uniti 119
8.2.4 Equazioni delle traslazioni 120
8.3 Simmetria assiale 122
8.3.1 Definizione 122
8.3.2 Proprietà 123
8.3.3 Elementi uniti 125
8.3.4 Poligoni simmetrici 127
8.3.5 Equazioni di alcune simmetrie assiali 128
8.4 Rotazione 131
8.4.1 Definizione 131
8.4.2 Proprietà 132
8.4.3 Elementi uniti 134
8.4.4 Equazioni di alcune rotazioni 135vi Indice
9 Trasformazioni geometriche piane 137
9.1 Generalità sulle trasformazioni geometriche piane 137
9.1.1 Introduzione e definizioni 137
9.2 Le isometrie 141
9.2.1 La simmetria centrale 141
9.2.2 La simmetria assiale 143
9.2.3 La traslazione 145
9.2.4 La rotazione 146
9.3 Composizione di isometrie 148
9.3.1 Composizione di isometrie di tipo diverso 148
9.3.2 Composizione di isometrie dello stesso tipo 148
9.3.3 Isometria inversa 149
9.3.4 Descrizione analitica di una simmetria centrale 154
9.4 Esercizi 158
9.4.1 Trasformazioni nella geometria sintetica 158
9.4.2 Trasformazioni nella geometria analitica 162
III Relazioni e funzioni 167
10 Disequazioni 169
10.1 Disuguaglianze chiuse e aperte 169
10.2 Intervalli sulla retta reale 170
10.3 Segno di un binomio di primo grado 172
10.4 Segno di un prodotto 174
10.5 Segno di un quoziente 175
10.6 Disequazioni numeriche 177
10.6.1 Principi di equivalenza delle disequazioni 177
10.6.2 Soluzione di una disequazione lineare 178
10.6.3 Un caso particolare 178
10.6.4 Prodotto o quoziente di polinomi 179
10.6.5 Sistema di disequazioni 181
10.6.6 Soluzione di disequazioni letterali 182
10.6.7 Problemi con le disequazioni 184
10.7 Esercizi 185
10.7.1 Esercizi dei singoli paragrafi 185
10.7.2 Esercizi riepilogativi 190
11 Sistemi di equazioni 193
11.1 Equazione lineare in due incognite 193
11.1.1 Rappresentazione di un’equazione lineare sul piano cartesiano 194
11.2 Definizione di sistema di equazioni 195
11.3 Metodi di soluzione di sistemi di equazioni 196
11.3.1 Procedimento per ottenere la forma canonica di un sistema 196
11.3.2 Sistemi indeterminati o impossibili 197
11.3.3 Metodo di sostituzione 197
11.3.4 Metodo di riduzione 199Indice vii
11.3.5 Il metodo grafico 200
11.4 Sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite 202
11.5 Esercizi 204
11.5.1 Esercizi dei singoli paragrafi 204
11.5.2 Esercizi riepilogativi 208
IV Dati e previsioni 213
12 La probabilità 215
12.1 Gli eventi 215
12.2 Definizioni di probabilità 216
12.2.1 La valutazione classica 218
12.2.2 La valutazione sperimentale 219
12.2.3 La valutazione soggettiva 220
12.3 Probabilità dell’unione di due eventi 221
12.3.1 Unione di due eventi tra loro incompatibili 221
12.3.2 Unione di due eventi tra loro compatibili 222
12.4 Probabilità dell’evento complementare 223
12.5 La probabilità dell’evento intersezione di due eventi 224
12.5.1 Intersezione di due eventi tra loro indipendenti 224
12.5.2 Intersezione di due eventi tra loro dipendenti 228
12.5.3 Interpretazione insiemistica della probabilità condizionata 229
12.6 Esercizi 232
12.6.1 Esercizi dei singoli paragrafi 232
V Elementi di informatica 241
13 Approfondimenti di Geometria interattiva 243
13.1 Altri strumenti della la geometria interattiva 243
13.1.1 Orthogonal 244
13.1.2 Parallel 244
13.1.3 MidPoints 245
13.1.4 MidPoint 245
13.1.5 Bisector 245
13.1.6 PointOn 246
13.1.7 ConstrainedPoint 246
13.1.8 parameter 247
13.1.9 Text 247
13.1.10VarText 247
13.1.11Calc 248
13.1.12Riassumendo 249
13.2 Insegnare a pyig 249
13.2.1 Funzioni 249
13.2.2 Riassumendo 252
13.3 Iterazione 252viii Indice
13.3.1 Poligoni regolari 254
13.3.2 Riassumendo 256
13.4 Altri problemi 256

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Indice del terzo volume

Prefazione v
Prefazione alla seconda edizione vii
Prefazione all’edizione 2016 alla seconda edizione vii
Prefazione all’edizione 2017 vii
1 Divisibilità e scomposizione di polinomi 1
1.1 Divisione tra polinomi 1
1.1.1 Algoritmo di Euclide 1
1.1.2 Regola di Ruffini 5
1.1.3 Teorema di Ruffini 7
1.2 Scomposizione in fattori 8
1.2.1 Cosa vuol dire scomporre in fattori 8
1.2.2 Raccoglimento fattore comune 9
1.2.3 Raccoglimento parziale 11
1.2.4 Riconoscimento di prodotti notevoli 12
1.2.5 Altre tecniche di scomposizione 16
1.2.6 Scomposizione mediante metodi combinati 21
1.3 Esercizi 24
1.3.1 Esercizi dei singoli paragrafi 24
1.3.2 Esercizi riepilogativi 31
2 Frazioni algebriche 33
2.1 Divisore comune e multiplo comune 33
2.1.1 Massimo Comun Divisore 33
2.1.2 Minimo comune multiplo 34
2.2 Definizione di frazione algebrica 34
2.3 Condizioni di esistenza per una frazione algebrica 35
2.4 Semplificazione di una frazione algebrica 36
2.5 Moltiplicazione di frazioni algebriche 37
2.6 Divisione di frazioni algebriche 38
2.7 Potenza di una frazione algebrica 39
2.7.1 Casi particolari dell’esponente 39
2.8 Addizione di frazioni algebriche 40
2.9 Esercizi 42
2.9.1 Esercizi dei singoli paragrafi 42
3 Complementi di algebra di primo grado 49
3.1 Equazioni di grado superiore al primo riducibili al primo grado 49
3.2 Equazioni numeriche frazionarie 50
3.3 Equazioni letterali 51
3.4 Equazioni letterali e formule inverse 53
3.5 Sistemi da risolvere con sostituzioni delle variabili 54
3.6 Esercizi 55
3.6.1 Esercizi dei singoli paragrafi 55
4 Equazioni di secondo grado 61
4.1 Le equazioni di secondo grado in una incognita 61
4.1.1 Risoluzione di un’equazione di secondo grado pura 61
4.1.2 Risoluzione di un’equazione incompleta spuria 62
4.2 Risoluzione di un’equazione completa 62
4.2.1 Formula ridotta per equazioni di secondo grado 64
4.3 Equazioni numeriche frazionarie 65
4.4 Relazioni tra soluzioni e coefficienti 66
4.4.1 Determinare due numeri conoscendone la somma e il prodotto 68
4.5 Scomposizione del trinomio di secondo grado 68
4.6 Equazioni parametriche 69
4.7 Problemi di secondo grado in una incognita 70
4.8 L’equazione di terzo grado, un po’ di storia 73
4.9 Equazioni riconducibili al prodotto di due o più fattori 74
4.10 Sistemi di secondo grado 75
4.10.1 Sistemi di secondo grado numerici 76
4.11 Sistemi simmetrici 79
4.11.1 Sistemi simmetrici di secondo grado 80
4.12 Esercizi 82
4.12.1 Esercizi dei singoli paragrafi 82
5 La parabola nel piano cartesiano 93
5.1 Rappresentazione del trinomio di secondo grado 93
5.2 Significato geometrico dei coefficienti 95
5.3 Tracciare parabole 97
5.4 Parabola e retta 100
5.5 Rette tangenti ad una parabola 101
5.6 Intersezioni tra parabole 104
5.7 Ricerca dell’equazione di una parabola 105
5.8 Altre parabole 106
5.9 Esercizi 107
5.9.1 Esercizi dei singoli paragrafi 107
6 Disequazioni 111
6.1 Risoluzione delle disequazioni di secondo grado 111
6.1.1 Studio del segno di un trinomio di secondo grado 111
6.2 Disequazioni polinomiali di grado superiore 113
6.3 Disequazioni fratte 116
6.4 Sistemi di disequazioni 119
6.5 Esercizi 122
6.5.1 Esercizi dei singoli paragrafi 122Indice v
7 Dai Naturali agli Iperreali 129
7.1 Dai numeri naturali ai numeri irrazionali 129
7.1.1 I numeri naturali N 129
7.1.2 I numeri interi Z 129
7.1.3 I numeri razionali Q 130
7.1.4 I numeri reali R 131
7.1.5 I numeri complessi C 131
7.2 I numeri iperreali R 132
7.2.1 Il problema della velocità 132
7.2.2 Il postulato di Eudosso-Archimede 133
7.2.3 Insiemi non archimedei 133
7.2.4 Tipi di Iperreali 134
7.2.5 Iperreali finiti e parte standard 135
7.2.6 Retta Iperreale e strumenti ottici 135
7.2.7 Operazioni 138
7.2.8 Confronto 141
7.2.9 Infinitamente vicini, indistinguibili 143
7.2.10 Principio di tranfer 144
7.3 Applicazioni 145
7.3.1 Problemi con gli Iperreali 145
7.3.2 Espressioni con gli Iperreali 145
7.4 Esercizi 148
7.4.1 Esercizi dei singoli paragrafi 148
8 Circonferenza 157
8.1 Circonferenza e cerchio: definizioni e prime proprietà 157
8.2 Posizioni relative fra rette e circonferenze 162
8.2.1 Posizioni reciproche di due circonferenze 164
8.3 Angoli nelle circonferenze 166
8.4 Proprietà dei segmenti di tangenza 170
8.5 Poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza 172
8.6 Proprietà dei quadrilateri inscritti e circoscritti 174
8.7 Poligoni regolari 175
8.8 Esercizi 177
8.8.1 Esercizi dei singoli paragrafi 177
8.8.2 Esercizi riepilogativi 178
9 Proporzionalità e similitudine 181
9.1 La misura 181
9.1.1 Classi di grandezze omogenee 181
9.2 Proporzionalità tra grandezze 185
9.2.1 Proprietà delle proporzioni 186
9.2.2 Grandezze direttamente e inversamente proporzionali 187
9.2.3 Grandezze inversamente proporzionali 189
9.3 Teorema di Talete, caso generale 190
9.3.1 Conseguenze del teorema di Talete 191
9.4 Avere la stessa forma 194vi Indice
9.5 La similitudine nei triangoli 195
9.5.1 Proprietà dei triangoli simili 197
9.6 Similitudine tra poligoni 199
9.6.1 Similitudine tra poligoni regolari 199
9.7 Proprietà di secanti e tangenti ad una circonferenza 201
9.8 La sezione aurea 202
9.8.1 Il punto di vista algebrico 202
9.8.2 Il punto di vista geometrico 202
9.9 Esercizi 205
9.9.1 Esercizi dei singoli paragrafi 205
10 Goniometria 215
10.1 Angoli e archi 215
10.2 La circonferenza goniometrica 216
10.3 Le funzioni circolari 217
10.4 Relazioni tra le funzioni circolari 219
10.4.1 Relazione fondamentale della goniometria 220
10.4.2 Tangente in funzione di seno e coseno 220
10.4.3 Traslazione di seno e coseno 220
10.5 Angoli associati 221
10.6 Angoli particolari 221
10.6.1 Digressione pitagorica 221
10.6.2 Angolo di 30° 222
10.6.3 Angolo di 45° 223
10.6.4 Angolo di 60° 223
10.7 Formule goniometriche 224
10.8 Equazioni goniometriche 225
10.8.1 Equazioni goniometriche elementari 225
10.9 Disequazioni goniometriche 227
10.9.1 Funzioni periodiche e Iperreali 228
10.10 Esercizi 230
10.10.1 Esercizi dei singoli paragrafi 230
11 Trigonometria 235
11.1 Prime definizioni 235
11.2 Due identità fondamentali 236
11.3 Usare la calcolatrice 237
11.4 Risoluzione di triangoli rettangoli 239
11.4.1 Proiezione di un segmento lungo una direzione 240
11.5 Risoluzione di un triangolo qualsiasi con triangoli rettangoli 240
11.5.1 Quadrilateri 241
11.5.2 Applicazioni della trigonometria 241
11.6 Risoluzione di un triangolo qualunque 243
11.6.1 Caso I: due lati e l’angolo compreso congruenti 244
11.6.2 Caso II: tre lati congruenti 245
11.6.3 Caso III: un lato e gli angoli congruenti 245
11.6.4 Riflessioni sull’uso del teorema dei seni 246Indice vii
11.7 Esercizi 247
11.7.1 Esercizi dei singoli paragrafi 247
12 Vettori 255
12.1 Prime definizioni 255
12.2 Operazioni con i vettori 258
12.2.1 Somma di vettori 258
12.2.2 Differenza tra vettori 260
12.2.3 Moltiplicazione di un numero reale per un vettore 261
12.2.4 Il prodotto scalare 262
12.2.5 Il prodotto vettoriale 262
12.3 Esercizi 264
13 Statistica descrittiva bivariata 265
13.1 Indagine statistica 265
13.2 Fasi di un’indagine statistica 266
13.2.1 Spoglio delle schede e tabulazione 267
13.2.2 Rappresentazione grafica 268
13.3 Indici di posizione 272
13.3.1 Moda 273
13.3.2 Media aritmetica 273
13.3.3 Mediana 275
13.4 Indici di variabilità 275
13.4.1 Scarto medio assoluto 276
13.4.2 Varianza e scarto quadratico medio 276
13.4.3 Coefficiente di variazione 277
13.5 Tabelle a doppia entrata 278
13.6 Indipendenza e connessione 281
13.6.1 L’indipendenza statistica 281
13.6.2 Il Chi quadro 281
13.6.3 Il Chi quadro normalizzato 282
13.7 Correlazione 283
13.7.1 La correlazione tra due variabili quantitative 283
13.7.2 Il concetto di covarianza 283
13.7.3 Coefficiente di correlazione lineare 284
13.7.4 La retta di regressione 285
13.8 Schema riassuntivo: formule della statistica 287
13.9 Esercizi 288
13.9.1 Esercizi dei singoli paragrafi 288
13.9.2 Esercizi riepilogativi 291

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Indice del quarto volume

Prefazione v
Prefazione alla seconda edizione vii
Prefazione all’edizione 2016 alla seconda edizione vii
Prefazione all’edizione 2017 vii
1 Complementi di algebra 1
1.1 Equazioni di grado superiore al secondo 1
1.1.1 Equazioni che si possono risolvere tramite scomposizione 1
1.1.2 Equazioni monomie 1
1.1.3 Equazioni binomie 2
1.1.4 Equazioni trinomie particolari 3
1.2 Equazioni e disequazioni irrazionali 4
1.2.1 Equazioni irrazionali 4
1.2.2 Disequazioni irrazionali 6
1.3 Equazioni con valori assoluti 8
1.3.1 Definizione di valore assoluto 9
1.3.2 La funzione “valore assoluto” 9
1.3.3 Proprietà del valore assoluto 10
1.3.4 Equazioni con il valore assoluto 10
1.3.5 Disequazioni con i valori assoluti 12
1.4 Esercizi 15
1.4.1 Esercizi dei singoli paragrafi 15
2 Circonferenza 23
2.1 Circonferenza e cerchio: definizioni e prime proprietà 23
2.2 Posizioni relative fra rette e circonferenze 28
2.2.1 Posizioni reciproche di due circonferenze 30
2.3 Angoli nelle circonferenze 32
2.4 Proprietà dei segmenti di tangenza 36
2.5 Poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza 38
2.6 Proprietà dei quadrilateri inscritti e circoscritti 40
2.7 Poligoni regolari 41
2.8 Esercizi 43
2.8.1 Esercizi dei singoli paragrafi 43
2.8.2 Esercizi riepilogativi 44
3 La circonferenza nel piano cartesiano 47
3.1 Circonferenza con il centro nell’origine 47
3.2 Circonferenza traslata 48
3.3 Equazione di una circonferenza 50
3.4 Circonferenze e rette 52
3.5 Posizioni reciproche tra circonferenze 55
3.6 Esercizi 57
3.6.1 Esercizi dei singoli paragrafi 57
3.6.2 Esercizi di riepilogo 61
4 Ellisse 63
4.1 Coniche 63
4.1.1 Le sezioni coniche 64
4.2 L’ellisse 65
4.2.1 L’ellisse come luogo geometrico 65
4.2.2 Le caratteristiche dell’ellisse 67
4.2.3 L’ellisse con i fuochi appartenenti all’asse Y 69
4.2.4 Condizioni per determinare l’equazione dell’ellisse 69
4.3 Esercizi 71
4.3.1 Esercizi dei singoli paragrafi 71
5 Iperbole 73
5.1 L’iperbole 73
5.1.1 L’iperbole come luogo geometrico 73
5.1.2 Le caratteristiche dell’iperbole 74
5.1.3 L’iperbole con i fuochi sull’asse Y 75
5.1.4 Condizioni per determinare l’equazione dell’iperbole 76
5.1.5 L’iperbole equilatera e la funzione omografica 76
5.2 Esercizi 80
5.2.1 Esercizi dei singoli paragrafi 80
6 Complementi sulle coniche 83
6.1 Le posizioni di una retta rispetto ad una conica 83
6.2 Rette tangenti ad una conica 84
6.2.1 Tangenti per un punto esterno ad una conica 84
6.2.2 Tangente per un punto appartenente alla conica 86
6.3 Curve deducibili dalle equazioni delle coniche 87
6.4 Esercizi 89
6.4.1 Esercizi dei singoli paragrafi 89
7 Esponenziali e logaritmi 91
7.1 Un problema 91
7.2 Esponenziali 92
7.2.1 La successione delle potenze di 2 92
7.2.2 Le potenze di 2 con esponente reale 93
7.2.3 Le funzioni esponenziali 94
7.2.4 Equazioni esponenziali 96
7.2.5 Le disequazioni esponenziali 98
7.3 Logaritmi 99
7.3.1 Le operazioni inverse e la potenza 100Indice v
7.3.2 Le equazioni logaritmiche 103
7.3.3 Le disequazioni logaritmiche 105
7.4 Esercizi 107
7.4.1 Esercizi dei singoli paragrafi 107
8 Calcolo combinatorio 113
8.1 Il calcolo combinatorio 113
8.2 Permutazioni 115
8.3 Permutazioni con ripetizione 115
8.4 Disposizioni 116
8.5 Disposizioni con ripetizione 116
8.6 Combinazioni 117
8.7 Combinazioni con ripetizione 118
8.8 Esercizi 119
8.8.1 Esercizi dei singoli paragrafi 119
9 Probabilità 121
9.1 Eventi aleatori, certi e impossibili 121
9.2 La probabilità di un evento 122
9.3 Probabilità dell’unione di due eventi 124
9.3.1 Unione di due eventi incompatibili 125
9.3.2 Unione di due eventi tra loro compatibili 125
9.4 La probabilità dell’evento intersezione di due eventi 126
9.4.1 Intersezione di due eventi tra loro indipendenti 127
9.4.2 Intersezione di due eventi tra loro dipendenti 131
9.4.3 Interpretazione insiemistica della probabilità condizionata 132
9.5 Teorema di disintegrazione e formula di Bayes 133
9.5.1 Teorema di disintegrazione 133
9.5.2 Formula di Bayes 134
9.6 Prove ripetute 135
9.7 Probabilità e statistica 137
9.8 Esercizi 138
9.8.1 Esercizi dei singoli paragrafi 138
9.8.2 Esercizi riepilogativi 142
10 Matematica finanziaria 147
10.1 Interesse semplice 148
10.2 Interesse composto 149
10.3 Capitalizzazione composta continua 150
10.3.1 Tassi equivalenti 150
10.4 Rendite 150
10.4.1 Valore attuale delle rendite 151
10.4.2 Montante delle rendite 152
10.5 Esercizi 153
10.5.1 Esercizi dei singoli paragrafi 153
11 Geometria cartesiana dello spazio 155vi Indice
11.1 Punti e vettori 155
11.2 Operazioni con i vettori 156
11.3 Retta (forma parametrica) 156
11.4 Piano (forma parametrica) 157
11.5 Piano (forma cartesiana) 158
11.6 Retta (forma cartesiana) 158
11.7 Da forma cartesiana a implicita (e viceversa) 159
11.8 Posizioni reciproche tra rette e piani 159
11.9 Distanza punto-piano 160
11.10 Sfere 160
11.11 Esempi particolari 161
11.12 Esercizi 163
11.12.1 Esercizi dei singoli paragrafi 163

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Indice del quinto volume

Prefazione v
Prefazione alla seconda edizione ix
Prefazione all’edizione 2016 alla seconda edizione ix
Prefazione all’edizione 2017 ix
1 Funzioni 1
1.1 Definizione di funzione 1
1.2 La rappresentazione di una funzione 5
1.3 Le proprietà di una funzione 5
1.4 Le caratteristiche di una funzione 7
1.4.1 Monotonia 7
1.4.2 Parità 9
1.4.3 Periodicità 11
1.4.4 Limitatezza 12
1.5 La classificazione delle funzioni 14
1.6 Funzioni inverse, composte e uguali 15
1.7 Esercizi 20
1.7.1 Esercizi dei singoli paragrafi 20
2 Topologia della retta 25
2.1 La topologia della retta 25
2.2 Gli intervalli 25
2.3 Gli intorni 26
2.4 Insiemi limitati e illimitati 28
2.5 Massimi, minimi ed estremi 30
2.6 I punti di accumulazione 32
2.7 Esercizi 34
2.7.1 Esercizi dei singoli paragrafi 34
3 Iperreali 37
3.1 Alcune questioni importanti sui numeri in R 37
3.2 I numeri Iperreali e l’insieme R 38
3.2.1 Il problema della velocità 38
3.2.2 Un nuovo insieme: gli Iperreali 38
3.2.3 Tipi di Iperreali 39
3.2.4 Iperreali finiti e parte standard 40
3.2.5 Retta Iperreale e strumenti ottici 40
3.2.6 Operazioni 43
3.2.7 Confronto 46
3.2.8 Infinitamente vicini, indistinguibili 48
3.2.9 Postulato di Eudosso-Archimede 49
3.2.10 Principio di transfer 50
3.2.11 Tranfer e funzioni trascendenti 51
3.3 Applicazioni 56
3.3.1 Problemi con gli Iperreali 56
3.3.2 Espressioni con gli Iperreali 57
3.4 Esercizi 60
3.4.1 Esercizi dei singoli paragrafi 60
4 Derivate 67
4.1 Introduzione 67
4.2 Velocità di caduta 67
4.3 Continuità 68
4.4 Differenziale 69
4.4.1 Differenziale e funzioni 71
4.4.2 Combinare differenziali 76
4.4.3 Problemi con i differenziali 79
4.5 Introduzione alla derivata 80
4.5.1 Pendenza di una retta 80
4.6 Derivata: definizione 85
4.7 Derivare funzioni algebriche 90
4.8 Regole di derivazione 93
4.9 Derivare funzioni composte e funzioni inverse 95
4.9.1 Funzioni composte 95
4.9.2 Funzioni inverse 98
4.10 Derivare funzioni trascendenti 100
4.10.1 Derivata di f(x) = ax 100
4.10.2 Derivata di f(x) = loga x 102
4.10.3 Derivata di funzioni circolari 103
4.11 Applicazioni 106
4.11.1 Derivata e tangente 107
4.11.2 Derivata e normale 108
4.11.3 Derivata della derivata 108
4.11.4 Derivata, differenza e differenziale 109
4.11.5 Sintesi 111
4.11.6 Applicazioni non solo matematiche 111
4.12 Esercizi 114
4.12.1 Esercizi dei singoli paragrafi 114
4.12.2 Esercizi sulle derivate 115
4.12.3 Problemi che coivolgono l’uso della derivata 121
5 Funzioni continue 123
5.1 Limiti 123
5.2 Continuità 123
5.2.1 Definizione di continuità in un punto 123
5.2.2 Definizione di continuità in un intervallo 124Indice v
5.3 Massimi e minimi 127
5.4 Massimi e minimi: applicazioni 129
5.5 Derivate e grafico di funzioni 129
5.6 Proprietà delle funzioni continue 129
5.6.1 Numeri iperinteri 129
5.6.2 Alcuni teoremi delle funzioni continue 131
6 Studio di funzioni 135
6.1 Descrizione del grafico 135
6.1.1 Descrizione a parole 136
6.2 Analisi della funzione 137
6.2.1 Le prime caratteristiche 137
6.3 Comportamento asintotico 139
6.3.1 Comportamento agli estremi del campo di esistenza 139
6.3.2 Asintoti 139
6.3.3 Asintoti obliqui 139
6.4 Andamento 140
6.4.1 Punti stazionari 140
6.4.2 Intervalli di monotonia 140
6.5 Concavità 141
6.6 Altre caratteristiche 142
6.7 Esercizi 143
7 Integrali 145
7.1 Un problema di area 145
7.2 L’area sottesa ad una funzione 147
7.3 Definizione 148
7.4 Somme di Riemann inferiore e superiore 149
7.5 Proprietà degli integrali 151
7.5.1 Proprietà rettangolare 151
7.5.2 Altre proprietà 151
7.5.3 Definizione di opposto 151
7.5.4 Proprietà additiva 152
7.6 Funzione integrale 152
7.7 Teorema fondamentale dell’analisi 155
7.7.1 Dimostrazione grafica 155
7.7.2 Dimostrazione algebrica 155
7.8 Integrali indefiniti 156
7.9 Calcolo dell’integrale definito 156
7.10 Esercizi 158
7.10.1 Esercizi dei singoli paragrafi 158
7.10.2 Esercizi riepilogativi 159

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