Matematica dolce – Edizione 2018

Testo di matematica in cinque volumi per le scuole di secondo grado a cura di Daniele Zambelli. Matematica dolce è un progetto collaborativo open-source. Trovi tutti i dettagli dell’iniziativa e le istruzioni per partecipare all’indirizzo https://bitbucket.org/zambu/matematicadolce.

Di seguito trovi gli indici e i link per scaricare i singoli volumi con le relative copertine.

Indice del primo volume

Copertina “Matematica dolce per i licei” volume 1 - Edizione 2018Prefazione v
Prefazione alla seconda edizione vii
Prefazione all’edizione 2016 vii
Prefazione all’edizione 2017 vii
Prefazione all’edizione 2018 viii

I Aritmetica e Algebra 1

1 Numeri naturali 3
1.1 L’origine dei numeri 3
1.2 I numeri naturali 4
1.3 Cosa sono 4
1.4 Il sistema di numerazione decimale posizionale 5
1.4.1 Rappresentazione geometrica 6
1.5 Operazioni con i numeri naturali 6
1.5.1 Proprietà delle operazioni 6
1.5.2 Addizione in N 7
1.5.3 Sottrazione in N 7
1.5.4 Moltiplicazione in N 8
1.5.5 Divisione in N 9
1.5.6 Proprietà distributiva 11
1.6 Potenza 11
1.6.1 Proprietà delle potenze 12
1.7 Espressioni numeriche 13
1.7.1 Soluzione con grafo ad albero 14
1.7.2 Metodo sequenziale 16
1.8 Espressioni con un buco 17
1.8.1 Soluzione con grafo ad albero 17
1.8.2 Soluzione sequenziale 20
1.9 Divisibilità e numeri primi 21
1.9.1 Divisori, numeri primi, numeri composti 23
1.10 Scomposizione in fattori primi 26
1.10.1 Scomposizione con un grafo ad albero 26
1.10.2 Scomposizione con un metodo sequenziale 26
1.11 Massimo Comune Divisore e minimo comune multiplo 27
1.12 Esercizi 29
1.12.1 Esercizi dei singoli paragrafi 29
1.12.2 Esercizi riepilogativi 35
2 Numeri interi relativi 37
2.1 I numeri che precedono lo zero 37
2.2 I numeri relativi e la retta 38
2.3 Confronto di numeri relativi 39
2.4 Le operazioni con i numeri relativi 39
2.4.1 Addizione 39
2.4.2 Sottrazione 40
2.4.3 Somma algebrica 41
2.4.4 Moltiplicazione 41
2.4.5 Divisione 42
2.4.6 Potenza di un numero relativo 43
2.4.7 Le proprietà delle operazioni nell’insieme dei numeri relativi 43
2.5 Esercizi 44
2.5.1 Esercizi dei singoli paragrafi 44
2.5.2 Esercizi riepilogativi 48
3 Numeri razionali 53
3.1 I numeri razionali 53
3.2 Notazione decimale 53
3.3 Frazioni 55
3.3.1 Rappresentazione mista 55
3.3.2 Rappresentazione sulla retta 56
3.3.3 Frazioni equivalenti 56
3.3.4 Confronto di frazioni 57
3.3.5 Operazioni con le frazioni 58
3.4 Decimali contro frazioni 61
3.4.1 Da frazione a decimale 61
3.4.2 Da decimale a frazione 61
3.5 Notazione scientifica e ordine di grandezza 63
3.5.1 Notazione scientifica 64
3.5.2 Ordine di grandezza 65
3.6 Rapporto, percentuale, proporzioni 66
3.6.1 Rapporto 66
3.6.2 Proporzioni 66
3.6.3 Percentuale 67
3.7 Problemi con le frazioni 67
3.7.1 Problemi diretti 67
3.7.2 Problemi inversi 68
3.8 Un po’ di storia 68
3.9 Esercizi 70
3.9.1 Esercizi riepilogativi 83
4 Calcolo letterale 89
4.1 Espressioni letterali e valori numerici 89
4.1.1 Lettere per esprimere formule 89
4.1.2 Valore numerico di un’espressione letterale 89
4.2 I monomi 90
4.2.1 Definizioni 90
4.2.2 Valore di un monomio 92
4.2.3 Moltiplicazione di monomi 93
4.2.4 Potenza di un monomio 93
4.2.5 Divisione di due monomi 94
4.2.6 Addizione di due monomi 95
4.2.7 Espressioni con i monomi 96
4.2.8 Massimo Comune Divisore e minimo comune multiplo tra monomi 97
4.3 Polinomi 99
4.3.1 Definizioni fondamentali 99
4.3.2 Somma algebrica di polinomi 021
4.3.3 Prodotto di un polinomio per un monomio 102
4.3.4 Quoziente tra un polinomio e un monomio 102
4.3.5 Prodotto di polinomi 103
4.4 Prodotti notevoli 103
4.4.1 Quadrato di un binomio 103
4.4.2 Quadrato di un polinomio 104
4.4.3 Prodotto della somma fra due monomi per la loro differenza 104
4.4.4 Prodotto particolare 105
4.4.5 Cubo di un binomio 106
4.4.6 Potenza n-esima di un binomio 106
4.5 Esercizi 108
4.5.1 Esercizi dei singoli paragrafi 108
4.5.2 Esercizi riepilogativi 126
II Geometria 129
5 Nozioni fondamentali 131
5.1 Introduzione alla geometria razionale 131
5.1.1 Breve nota storica 131
5.1.2 Lo spazio fisico e la geometria 132
5.2 Il metodo assiomatico, i concetti primitivi e le definizioni 132
5.2.1 I teoremi 133
5.2.2 Postulati e assiomi 134
5.3 Prime definizioni 138
5.3.1 Semirette e segmenti 138
5.3.2 Semipiani e angoli 140
5.4 Confronto e operazioni tra segmenti e angoli 143
5.4.1 Premessa intuitiva 143
5.4.2 La congruenza 144
5.4.3 Costruzioni riga e compasso 145
5.4.4 Confronto di segmenti 147
5.4.5 Confronto di angoli 18
5.4.6 Operazioni con i segmenti 150
5.4.7 Operazioni con gli angoli 155
5.4.8 Angoli particolari 157
5.4.9 Perpendicolari e altre definizioni 159
5.5 Poligoni e poligonale 161
5.5.1 Poligono 162
5.6 Esercizi 165
5.6.1 Esercizi dei singoli paragrafi 165
6 Congruenza nei triangoli 175
6.1 Definizioni relative ai triangoli 175
6.2 Criteri di congruenza dei triangoli 178
6.3 Teoremi del triangolo isoscele 180
6.4 Esercizi 183
6.4.1 Esercizi riepilogativi 183
7 Il piano cartesiano 187
7.1 Un po’ di storia 187
7.2 Asse cartesiano 187
7.3 Piano cartesiano 188
7.4 Problemi nel piano cartesiano 190
7.4.1 Punto medio di un segmento 190
7.4.2 Lunghezza di un segmento 191
7.4.3 Area sottesa a un segmento 192
7.4.4 Area di un triangolo 194
7.5 Esercizi 196
7.5.1 Esercizi dei singoli paragrafi 196
7.5.2 Esercizi riepilogativi 196
III Relazioni e funzioni 199
8 Insiemi 201
8.1 Definizioni 201
8.1.1 Elementi primitivi della teoria degli insiemi 201
8.1.2 Insieme vuoto 202
8.1.3 Cardinalità 203
8.2 Rappresentazione degli insiemi 203
8.2.1 Rappresentazione tabulare 203
8.2.2 Rappresentazione per proprietà caratteristica 204
8.2.3 Rappresentazione grafica (Diagramma di Venn) 205
8.3 Operazioni con gli insiemi 205
8.3.1 Sottoinsieme 205
8.3.2 Insieme delle parti 207
8.3.3 Insieme unione 208
8.3.4 Insieme intersezione 209
8.3.5 Proprietà distributiva 210
8.3.6 Insieme differenza 210
8.3.7 Insieme complementare 211
8.3.8 Leggi di De Morgan 212
8.3.9 Prodotto cartesiano fra insiemi 213
8.4 I diagrammi di Eulero-Venn come modello di un problema 215
8.5 Esercizi 218
8.5.1 Esercizi dei singoli paragrafi 218
8.5.2 Esercizi riepilogativi 226
9 Identità, equazioni 233
9.1 Identità ed equazioni 233
9.1.1 Ricerca dell’insieme soluzione 235
9.2 Prinicipi di equivalenza 235
9.2.1 Risoluzione di equazioni numeriche intere di primo grado 236
9.3 Equazioni a coefficienti frazionari 238
9.3.1 Equazioni in cui l’incognita compare con grado maggiore di 1 238
9.3.2 Equazioni in cui l’incognita scompare 239
9.3.3 Riassunto 239
9.4 Problemi di I grado in un’incognita 240
9.4.1 Un po’ di storia e qualche aneddoto 240
9.5 Esercizi 245
9.5.1 Esercizi dei singoli paragrafi 245
9.5.2 Problemi dalla realtà 251
9.5.3 Problemi di geometria 253
10 Relazioni e funzioni 255
10.1 Proposizioni e predicati 255
10.2 Relazioni in un insieme 255
10.2.1 Proprietà delle relazioni 256
10.2.2 Relazioni di equivalenza 258
10.2.3 Relazioni di ordine 260
10.3 Funzioni 260
10.3.1 Funzioni: definizioni 260
10.3.2 Il grafico di una funzione 262
10.3.3 Proporzionalità diretta e inversa 264
10.3.4 Funzioni particolari 267
10.4 Esercizi 269
10.4.1 Esercizi dei singoli paragrafi 269
IV Dati e previsioni 277
11 Statistica descrittiva 279
11.1 Indagine statistica 279
11.2 Fasi di un’indagine statistica 280
11.2.1 Spoglio delle schede e tabulazione 281
11.2.2 Rappresentazione grafica 283
11.3 Indici di posizione 288
11.3.1 Moda 288
11.3.2 Media aritmetica 289
11.3.3 Mediana 290
11.4 Esercizi 292
11.4.1 Esercizi dei singoli paragrafi 292
11.4.2 Esercizi riepilogativi 298
V Elementi di informatica 305
12 Foglio di calcolo 307
12.1 Avviamo “Calc” 307
12.2 Celle, colonne, righe… il foglio di calcolo 308
12.3 Formati e ordinamenti 310
12.4 Copiare in modo intelligente 312
12.5 Diagrammi 314
12.6 Esercizi 316
13 Geometria interattiva 1 317
13.1 Introduzione 317
13.1.1 Installiamo un interprete 317
13.1.2 Riassumendo 318
13.2 Elementi fondamentali 319
13.2.1 Un piano vuoto 319
13.2.2 Oggetti di base 321
13.2.3 Intersezioni 323
13.2.4 Altri oggetti primitivi 324
13.2.5 Poligoni 325
13.2.6 Riassumendo 327
13.3 Altri problemi 328

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Indice del secondo volume

Copertina de “Matematica Dolce” volume 2 - Edizione 2018Prefazione v
Prefazione alla seconda edizione vii
Prefazione all’edizione 2016 vii
Prefazione all’edizione 2017 vii
Prefazione all’edizione 2018 viii

I Aritmetica e Algebra 1

1 Radicali 3
1.1 Dai numeri naturali ai numeri irrazionali 3
1.2 I numeri reali 5
1.3 Valore assoluto 5
1.3.1 Proprietà del valore assoluto 6
1.4 Dalle potenze alle radici 7
1.4.1 Osservazioni sulle potenze 7
1.5 Definizioni 7
1.6 Potenze ad esponente razionale 9
1.7 Semplificazione di radici 10
1.8 Moltiplicazione e divisione di radici 11
1.9 Portare un fattore sotto il segno di radice 12
1.10 Portare un fattore fuori dal segno di radice 13
1.11 Potenza di radice e radice di radice 14
1.12 Somma di radicali 14
1.13 Razionalizzazione del denominatore di una frazione 15
1.14 Equazioni, disequazioni e sistemi a coefficienti irrazionali 16
1.14.1 Equazioni di primo grado 17
1.14.2 Disequazioni di primo grado 17
1.14.3 Sistemi di primo grado 17
1.15 Radicandi letterali 18
1.15.1 Condizioni di esistenza 18
1.15.2 Operazioni con radicali letterali 19
1.16 Esercizi 24
1.16.1 Esercizi dei singoli paragrafi 24

II Geometria 33

2 Rette nel piano cartesiano 35
2.1 Equazioni lineari in due variabili 35
2.2 Equazioni della retta 36
2.3 Come disegnare le rette 38
2.4 Coefficienti dell’equazione esplicita 38
2.4.1 Il coefficiente angolare 39
2.4.2 Disegno rapido 40
2.5 Rette parallele e perpendicolari 41
2.6 Retta per due punti 42
2.7 Fasci di rette 43
2.7.1 Formula della retta per due punti 43
2.8 Distanza punto retta 43
2.9 Intersezione di rette 44
2.10 Esercizi 46
2.10.1 Esercizi dei singoli paragrafi 46
2.10.2 Esercizi riepilogativi 52
3 Rette parallele 53
3.1 Rette parallele 53
3.1.1 Rette parallele tagliate da una trasversale 54
3.2 Somma degli angoli interni di un triangolo 55
3.3 Somma degli angoli interni di un poligono 56
3.4 Generalizzazione dei criteri di congruenza dei triangoli 56
3.4.1 Congruenze di triangoli rettangoli 58
3.5 Disuguaglianze tra gli elementi di un triangolo 59
3.6 Esercizi 63
3.6.1 Esercizi dei singoli paragrafi 63
4 Quadrilateri 69
4.1 Generalità sui quadrilateri 69
4.1.1 Distanza di un punto da una retta e altezza di una striscia di piano 69
4.1.2 Generalità sui poligoni 69
4.2 Trapezio e deltoide 70
4.2.1 Proprietà del trapezio 70
4.2.2 Proprietà del deltoide 72
4.3 Proprietà dei parallelogrammi 72
4.4 Parallelogrammi particolari 76
4.5 Esercizi 79
4.5.1 Esercizi riepilogativi 79
5 Equiestensione e aree 83
5.1 Estensione superficiale 83
5.2 Poligoni equivalenti 85
5.3 Aree dei principali poligoni 89
5.3.1 Area del rettangolo 89
5.3.2 Area del quadrato 89
5.3.3 Area del parallelogramma 89
5.3.4 Area del triangolo 89
5 Area del trapezio 90
5.3.6 Area del rombo 90
5.4 Teoremi di Pitagora e di Euclide 90
5.5 Applicazioni dei teoremi di Euclide e Pitagora 92
5.6 Applicazioni dell’algebra alla geometria 94
5.6.1 Triangoli rettangoli con angoli di 45° 94
5.6.2 Triangoli rettangoli con angoli di 30° e 60° 94
5.6.3 Formula di Erone per il calcolo dell’area di un triangolo 95
5.7 Esercizi 96
5.7.1 Esercizi dei singoli paragrafi 96
6 Trasformazioni con la geometria interattiva 101
6.1 Caratteri generali 101
6.1.1 Strumenti di pyig 101
6.2 Traslazione 102
6.2.1 Definizione 102
6.2.2 Proprietà 103
6.2.3 Elementi uniti 105
6.2.4 Equazioni delle traslazioni 106
6.3 Simmetria assiale 108
6.3.1 Definizione 108
6.3.2 Proprietà 109
6.3.3 Elementi uniti 112
6.3.4 Poligoni simmetrici 113
6.3.5 Equazioni di alcune simmetrie assiali 115
6.4 Rotazione 117
6.4.1 Definizione 117
6.4.2 Proprietà 119
6.4.3 Elementi uniti 120
6.4.4 Equazioni di alcune rotazioni 121
7 Trasformazioni geometriche piane 123
7.1 Generalità sulle trasformazioni geometriche piane 123
7.1.1 Introduzione e definizioni 123
7.2 Le isometrie 127
7.2.1 La simmetria centrale 127
7.2.2 La simmetria assiale 129
7.2.3 La traslazione 131
7.2.4 La rotazione 132
7.3 Composizione di isometrie 134
7.3.1 Composizione di isometrie di tipo diverso 134
7.3.2 Composizione di isometrie dello stesso tipo 134
7.3.3 Isometria inversa 135
7.3.4 Descrizione analitica di una simmetria centrale 140
7.4 Esercizi 144
7.4.1 Trasformazioni nella geometria sintetica 144
7.4.2 Trasformazioni nella geometria analitica 148

III Relazioni e funzioni 153

8 Disequazioni 155
8.1 Disuguaglianze chiuse e aperte 155
8.2 Intervalli sulla retta reale 156
8.3 Segno di un binomio di primo grado 158
8.4 Segno di un prodotto 160
8.5 Segno di un quoziente 161
8.6 Disequazioni numeriche 163
8.6.1 Principi di equivalenza delle disequazioni 163
8.6.2 Soluzione di una disequazione lineare 164
8.6.3 Un caso particolare 164
8.6.4 Prodotto o quoziente di polinomi 165
8.6.5 Sistema di disequazioni 167
8.6.6 Soluzione di disequazioni letterali 168
8.6.7 Problemi con le disequazioni 170
8.7 Esercizi 171
8.7.1 Esercizi dei singoli paragrafi 171
8.7.2 Esercizi riepilogativi 176
9 Sistemi di equazioni 179
9.1 Equazione lineare in due incognite 179
9.1.1 Rappresentazione di un’equazione lineare sul piano cartesiano 180
9.2 Definizione di sistema di equazioni 181
9.3 Metodi di soluzione di sistemi di equazioni 182
9.3.1 Procedimento per ottenere la forma canonica di un sistema 182
9.3.2 Sistemi indeterminati o impossibili 183
9.3.3 Metodo di sostituzione 183
9.3.4 Metodo di riduzione 185
9.3.5 Il metodo grafico 186
9.4 Sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite 188
9.5 Esercizi 190
9.5.1 Esercizi dei singoli paragrafi 190
9.5.2 Esercizi riepilogativi 194

IV Dati e previsioni 199

10 La probabilità 201
10.1 Gli eventi 201
10.2 Definizioni di probabilità 202
10.2.1 La valutazione classica 204
10.2.2 La valutazione sperimentale 205
10.2.3 La valutazione soggettiva 206
10.3 Probabilità dell’unione di due eventi 207
10.3.1 Unione di due eventi tra loro incompatibili 207
10.3.2 Unione di due eventi tra loro compatibili 208
10.4 Probabilità dell’evento complementare 209
10.5 La probabilità dell’evento intersezione di due eventi 210
10.5.1 Intersezione di due eventi tra loro indipendenti 210
10.6 Esercizi 214
10.6.1 Esercizi dei singoli paragrafi 214

V Elementi di informatica 223

11 Approfondimenti di Geometria interattiva 225
11.1 Altri strumenti della la geometria interattiva 225
11.1.1 Orthogonal 226
11.1.2 Parallel 227
11.1.3 MidPoints 227
11.1.4 MidPoint 227
11.1.5 Bisector 228
11.1.6 PointOn 228
11.1.7 ConstrainedPoint 228
11.1.8 parameter 229
11.1.9 Text 229
11.1.10 VarText 229
11.1.11 Calc 230
11.1.12 Riassumendo 231
11.2 Insegnare a pyig 231
11.2.1 Funzioni 231
11.2.2 Riassumendo 234
11.3 Iterazione 234
11.3.1 Poligoni regolari 236
11.3.2 Riassumendo 238
11.4 Altri problemi 238

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Indice del terzo volume

Copertina “Matematica Dolce”, volume 3, edizione 2018Prefazione v
Prefazione alla seconda edizione vii
Prefazione all’edizione 2016 vii
Prefazione all’edizione 2017 vii
Prefazione all’edizione 2018 viii

1 Divisibilità e scomposizione di polinomi 1
1.1 Divisione tra polinomi 1
1.1.1 Algoritmo di Euclide 1
1.1.2 Regola di Ruffini 5
1.1.3 Teorema di Ruffini 7
1.2 Scomposizione in fattori 8
1.2.1 Cosa vuol dire scomporre in fattori 8
1.2.2 Raccoglimento fattore comune 9
1.2.3 Raccoglimento parziale 11
1.2.4 Riconoscimento di prodotti notevoli 12
1.2.5 Altre tecniche di scomposizione 16
1.2.6 Scomposizione mediante metodi combinati 21
1.3 Esercizi 24
1.3.1 Esercizi dei singoli paragrafi 24
1.3.2 Esercizi riepilogativi 31

2 Frazioni algebriche 33
2.1 Divisore comune e multiplo comune 33
2.1.1 Massimo Comun Divisore 33
2.1.2 Minimo comune multiplo 34
2.2 Definizione di frazione algebrica 34
2.3 Condizioni di esistenza per una frazione algebrica 35
2.4 Semplificazione di una frazione algebrica 36
2.5 Moltiplicazione di frazioni algebriche 37
2.6 Divisione di frazioni algebriche 38
2.7 Potenza di una frazione algebrica 39
2.7.1 Casi particolari dell’esponente 39
2.8 Addizione di frazioni algebriche 40
2.9 Esercizi 42
2.9.1 Esercizi dei singoli paragrafi 42

3 Complementi di algebra di primo grado 49
3.1 Equazioni di grado superiore al primo riducibili al primo grado 49
3.2 Equazioni numeriche frazionarie 50
3.3 Equazioni letterali 51
3.4 Equazioni letterali e formule inverse 53
3.5 Sistemi da risolvere con sostituzioni delle variabili 54
3.6 Esercizi 55
3.6.1 Esercizi dei singoli paragrafi 55

4 Equazioni di secondo grado 61
4.1 Le equazioni di secondo grado in una incognita 61
4.1.1 Risoluzione di un’equazione di secondo grado pura 61
4.1.2 Risoluzione di un’equazione incompleta spuria 62
4.2 Risoluzione di un’equazione completa 62
4.2.1 Formula ridotta per equazioni di secondo grado 64
4.3 Equazioni numeriche frazionarie 65
4.4 Relazioni tra soluzioni e coefficienti 66
4.4.1 Determinare due numeri conoscendone la somma e il prodotto 68
4.5 Scomposizione del trinomio di secondo grado 68
4.6 Equazioni parametriche 69
4.7 Problemi di secondo grado in una incognita 70
4.8 L’equazione di terzo grado, un po’ di storia 73
4.9 Equazioni riconducibili al prodotto di due o più fattori 74
4.10 Sistemi di secondo grado 75
4.10.1 Sistemi di secondo grado numerici 76
4.11 Sistemi simmetrici 79
4.11.1 Sistemi simmetrici di secondo grado 80
4.11.2 Esercizi dei singoli paragrafi 82

5 La parabola nel piano cartesiano 95
5.1 Rappresentazione del trinomio di secondo grado 95
5.2 Significato geometrico dei coefficienti 97
5.3 Tracciare parabole 99
5.4 Parabola e retta 102
5.5 Rette tangenti ad una parabola 103
5.6 Intersezioni tra parabole 106
5.7 Ricerca dell’equazione di una parabola 107
5.8 Altre parabole 108
5.9 Esercizi 109
5.9.1 Esercizi dei singoli paragrafi 109

6 Disequazioni 113
6.1 Risoluzione delle disequazioni di secondo grado 113
6.1.1 Studio del segno di un trinomio di secondo grado 113
6.2 Disequazioni polinomiali di grado superiore 115
6.3 Disequazioni fratte 118
6.4 Sistemi di disequazioni 121
6.5 Esercizi 124
6.5.1 Esercizi dei singoli paragrafi 124

7 Dai Naturali agli Iperreali 131
7.1 Dai numeri naturali ai numeri irrazionali 131
7.1.1 I numeri naturali N 131
7.1.2 I numeri interi Z 131
7.1.3 I numeri razionali Q 132
7.1.4 I numeri reali R 133
7.1.5 I numeri complessi C 135
7.2 I numeri iperreali ∗R 135
7.2.1 Il problema della velocità 135
7.2.2 Infinitesimi..e infiniti 136
7.2.3 Tipi di Iperreali 137
7.2.4 Numeri infinitamente vicini 138
7.2.5 Iperreali finiti e parte standard 139
7.2.6 Retta Iperreale e strumenti ottici 140
7.2.7 Operazioni 142
7.2.8 Confronto 145
7.2.9 Indistinguibili 148
7.2.10 Principio di tranfer 150
7.3 Applicazioni 151
7.3.1 Problemi con gli Iperreali 151
7.3.2 Espressioni con gli Iperreali 152
7.4 Esercizi 155
7.4.1 Esercizi dei singoli paragrafi 155

8 Proporzionalità e similitudine 163
8.1 La misura 163
8.1.1 Classi di grandezze omogenee 163
8.2 Proporzionalità tra grandezze 167
8.2.1 Proprietà delle proporzioni 168
8.2.2 Grandezze direttamente e inversamente proporzionali 169
8.2.3 Grandezze inversamente proporzionali 171
8.3 Teorema di Talete, caso generale 172
8.3.1 Conseguenze del teorema di Talete 173
8.4 Avere la stessa forma 176
8.5 La similitudine nei triangoli 177
8.5.1 Proprietà dei triangoli simili 179
8.6 Similitudine tra poligoni 180
8.6.1 Similitudine tra poligoni regolari 181
8.7 Proprietà di secanti e tangenti ad una circonferenza 182
8.8 La sezione aurea 183
8.8.1 Il punto di vista algebrico 183
8.8.2 Il punto di vista geometrico 183
8.9 Esercizi 186
8.9.1 Esercizi dei singoli paragrafi 186

9 Goniometria 197
9.1 Angoli e archi 197
9.2 La circonferenza goniometrica 198
9.3 Le funzioni circolari 199
9.4 Relazioni tra le funzioni circolari 201
9.4.1 Relazione fondamentale della goniometria 201
9.4.2 Tangente in funzione di seno e coseno 201
9.4.3 Traslazione di seno e coseno 202
9.5 Angoli associati 202
9.6 Angoli particolari 202
9.6.1 Digressione pitagorica 203
9.6.2 Angolo di 30° 204
9.6.3 Angolo di 45° 204
9.6.4 Angolo di 60° 204
9.7 Formule goniometriche 205
9.8 Equazioni goniometriche 206
9.8.1 Equazioni goniometriche elementari 206
9.9 Disequazioni goniometriche 208
9.9.1 Funzioni periodiche e Iperreali 209
9.10 Esercizi 211
9.10.1 Esercizi dei singoli paragrafi 211

10 Trigonometria 217
10.1 Prime definizioni 217
10.2 Due identità fondamentali 218
10.3 Usare la calcolatrice 219
10.4 Risoluzione di triangoli rettangoli 221
10.4.1 Proiezione di un segmento lungo una direzione 222
10.5 Risoluzione di un triangolo qualsiasi con triangoli rettangoli 222
10.5.1 Quadrilateri 223
10.5.2 Applicazioni della trigonometria 223
10.6 Risoluzione di un triangolo qualunque 225
10.6.1 Caso I: due lati e l’angolo compreso congruenti 226
10.6.2 Caso II: tre lati congruenti 227
10.6.3 Caso III: un lato e gli angoli congruenti 227
10.6.4 Riflessioni sull’uso del teorema dei seni 228
10.7 Esercizi 229
10.7.1 Esercizi dei singoli paragrafi 229

11 Vettori 237
11.1 Prime definizioni 237
11.2 Operazioni con i vettori 240
11.2.1 Somma di vettori 240
11.2.2 Differenza tra vettori 242
11.2.3 Moltiplicazione di un numero reale per un vettore 243
11.2.4 Il prodotto scalare 244
11.2.5 Il prodotto vettoriale 244
11.3 Esercizi 246

12 Statistica descrittiva bivariata 247
12.1 Indagine statistica 247
12.2 Fasi di un’indagine statistica 248
12.2.1 Spoglio delle schede e tabulazione 249
12.2.2 Rappresentazione grafica 250
12.3 Indici di posizione 254
12.3.1 Moda 255
12.3.2 Media aritmetica 255
12.3.3 Mediana 257
12.4 Indici di variabilità 257
12.4.1 Scarto medio assoluto 258
12.4.2 Varianza e scarto quadratico medio 258
12.4.3 Coefficiente di variazione 259
12.5 Tabelle a doppia entrata 260
12.6 Indipendenza e connessione 263
12.6.1 L’indipendenza statistica 263
12.6.2 Il Chi quadro 263
12.6.3 Il Chi quadro normalizzato 264
12.7 Correlazione 265
12.7.1 La correlazione tra due variabili quantitative 265
12.7.2 Il concetto di covarianza 265
12.7.3 Coefficiente di correlazione lineare 266
12.7.4 La retta di regressione 267
12.8 Schema riassuntivo: formule della statistica 269
12.9 Esercizi 270
12.9.1 Esercizi dei singoli paragrafi 270

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Indice del quarto volume

Copertina “Matematica Dolce”, volume 4, Edizione 2018Prefazione v
Prefazione alla seconda edizione vii
Prefazione all’edizione 2016 vii
Prefazione all’edizione 2017 vii
Prefazione all’edizione 2018 viii

1 Complementi di algebra 1
1.1 Equazioni di grado superiore al secondo 1
1.1.1 Equazioni che si possono risolvere tramite scomposizione 1
1.1.2 Equazioni monomie 1
1.1.3 Equazioni binomie 2
1.1.4 Equazioni trinomie particolari 3
1.2 Equazioni e disequazioni irrazionali 4
1.2.1 Equazioni irrazionali 4
1.2.2 Disequazioni irrazionali 6
1.3 Equazioni con valori assoluti 9
1.3.1 Definizione di valore assoluto 9
1.3.2 La funzione “valore assoluto” 10
1.3.3 Proprietà del valore assoluto 10
1.3.4 Equazioni con il valore assoluto 10
1.3.5 Disequazioni con i valori assoluti 12
1.4 Esercizi 15
1.4.1 Esercizi dei singoli paragrafi 15

2 Circonferenza 23
2.1 Circonferenza e cerchio: definizioni e prime proprietà 23
2.2 Posizioni relative fra rette e circonferenze 28
2.2.1 Posizioni reciproche di due circonferenze 30
2.3 Angoli nelle circonferenze 32
2.4 Proprietà dei segmenti di tangenza 36
2.5 Poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza 38
2.6 Proprietà dei quadrilateri inscritti e circoscritti 40
2.7 Poligoni regolari 41
2.8 Esercizi 43
2.8.1 Esercizi dei singoli paragrafi 43
2.8.2 Esercizi riepilogativi 44

3 La circonferenza nel piano cartesiano 47
3.1 Circonferenza con il centro nell’origine 47
3.2 Circonferenza traslata 48
3.3 Equazione di una circonferenza 50
3.4 Circonferenze e rette 52
3.5 Posizioni reciproche tra circonferenze 55
3.6 Esercizi 57
3.6.1 Esercizi dei singoli paragrafi 57
3.6.2 Esercizi di riepilogo 61

4 Ellisse 63
4.1 Coniche 63
4.1.1 Le sezioni coniche 64
4.2 L’ellisse 65
4.2.1 L’ellisse come luogo geometrico 65
4.2.2 Le caratteristiche dell’ellisse 67
4.2.3 L’ellisse con i fuochi appartenenti all’asse Y 69
4.2.4 Condizioni per determinare l’equazione dell’ellisse 69
4.3 Esercizi 71
4.3.1 Esercizi dei singoli paragrafi 71

5 Iperbole 73
5.1 L’iperbole 73
5.1.1 L’iperbole come luogo geometrico 73
5.1.2 Le caratteristiche dell’iperbole 74
5.1.3 L’iperbole con i fuochi sull’asse Y 75
5.1.4 Condizioni per determinare l’equazione dell’iperbole 76
5.1.5 L’iperbole equilatera e la funzione omografica 76
5.2 Esercizi 80
5.2.1 Esercizi dei singoli paragrafi 80

6 Complementi sulle coniche 83
6.1 Le posizioni di una retta rispetto ad una conica 83
6.2 Rette tangenti ad una conica 84
6.2.1 Tangenti per un punto esterno ad una conica 84
6.2.2 Tangente per un punto appartenente alla conica 86
6.3 Curve deducibili dalle equazioni delle coniche 87
6.4 Esercizi 89
6.4.1 Esercizi dei singoli paragrafi 89

7 Esponenziali e logaritmi 91
7.1 Un problema 91
7.2 Esponenziali 92
7.2.1 La successione delle potenze di 2 92
7.2.2 Le potenze di 2 con esponente reale 93
7.2.3 Le funzioni esponenziali 94
7.2.4 Equazioni esponenziali 96
7.2.5 Le disequazioni esponenziali 98
7.3 Logaritmi 100
7.3.1 Le operazioni inverse e la potenza 100
7.3.2 Le equazioni logaritmiche 103
7.3.3 Le disequazioni logaritmiche 105
7.4 Esercizi 107
7.4.1 Esercizi dei singoli paragrafi 107

8 Statistica descrittiva bivariata 113
8.1 Indagine statistica 113
8.2 Fasi di un’indagine statistica 114
8.2.1 Spoglio delle schede e tabulazione 115
8.2.2 Rappresentazione grafica 116
8.3 Indici di posizione 120
8.3.1 Moda 121
8.3.2 Media aritmetica 121
8.3.3 Mediana 123
8.4 Indici di variabilità 123
8.4.1 Scarto medio assoluto 124
8.4.2 Varianza e scarto quadratico medio 124
8.4.3 Coefficiente di variazione 125
8.5 Tabelle a doppia entrata 126
8.6 Indipendenza e connessione 129
8.6.1 L’indipendenza statistica 129
8.6.2 Il Chi quadro 129
8.6.3 Il Chi quadro normalizzato 130
8.7 Correlazione 131
8.7.1 La correlazione tra due variabili quantitative 131
8.7.2 Il concetto di covarianza 131
8.7.3 Coefficiente di correlazione lineare 132
8.7.4 La retta di regressione 133
8.8 Schema riassuntivo: formule della statistica 135
8.9 Esercizi 136
8.9.1 Esercizi dei singoli paragrafi 136

9 Calcolo combinatorio 147
9.1 Il calcolo combinatorio 147
9.2 Permutazioni 149
9.3 Permutazioni con ripetizione 149
9.4 Disposizioni 150
9.5 Disposizioni con ripetizione 150
9.6 Combinazioni 151
9.7 Combinazioni con ripetizione 152
9.8 Esercizi 153
9.8.1 Esercizi dei singoli paragrafi 153

10 Probabilità 155
10.1 Eventi aleatori, certi e impossibili 155
10.2 La probabilità di un evento 156
10.3 Probabilità dell’unione di due eventi 158
10.3.1 Unione di due eventi incompatibili 159
10.3.2 Unione di due eventi tra loro compatibili 159
10.4 La probabilità dell’evento intersezione di due eventi 160
10.4.1 Intersezione di due eventi tra loro indipendenti 161
10.4.2 Intersezione di due eventi tra loro dipendenti 164
10.4.3 Interpretazione insiemistica della probabilità condizionata 165
10.5 Teorema di disintegrazione e formula di Bayes 166
10.5.1 Teorema di disintegrazione 166
10.5.2 Formula di Bayes 167
10.6 Prove ripetute 168
10.7 Probabilità e statistica 170
10.8 Esercizi 171
10.8.1 Esercizi dei singoli paragrafi 171
10.8.2 Esercizi riepilogativi 175

11 Matematica finanziaria 179
11.1 Interesse semplice 180
11.2 Interesse composto 181
11.3 Capitalizzazione composta continua 182
11.3.1 Tassi equivalenti 182
11.4 Rendite 182
11.4.1 Valore attuale delle rendite 183
11.4.2 Montante delle rendite 184
11.5 Esercizi 185
11.5.1 Esercizi dei singoli paragrafi 185

12 Geometria cartesiana dello spazio 187
12.1 Punti e vettori 187
12.2 Operazioni con i vettori 188
12.3 Retta (forma parametrica) 188
12.4 Piano (forma parametrica) 189
12.5 Piano (forma cartesiana) 190
12.6 Retta (forma cartesiana) 190
12.7 Da forma cartesiana a implicita (e viceversa) 191
12.8 Posizioni reciproche tra rette e piani 191
12.9 Distanza punto-piano 192
12.12.1 Esercizi dei singoli paragrafi 195

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Indice del quinto volume

Copertina di “Matematica Dolce”, volume 5, Edizione 2018Prefazione v
Prefazione alla seconda edizione vii
Prefazione all’edizione 2016 vii
Prefazione all’edizione 2017 vii
Prefazione all’edizione 2018 viii

1 Iperreali 1
1.1 Alcune questioni importanti sui numeri in R 1
1.2 I numeri iperreali ∗R 2
1.2.1 Il problema della velocità 2
1.2.2 Infinitesimi..e infiniti 2
1.2.3 Tipi di Iperreali 3
1.2.4 Numeri infinitamente vicini 4
1.2.5 Iperreali finiti e parte standard 5
1.2.6 Retta Iperreale e strumenti ottici 6
1.2.7 Operazioni 9
1.2.8 Confronto 11
1.2.9 Indistinguibili 15
1.2.10 Principio di tranfer 17
1.3 Applicazioni 17
1.3.1 Problemi con gli Iperreali 17
1.3.2 Espressioni con gli Iperreali 18
1.4 Esercizi 22
1.4.1 Esercizi dei singoli paragrafi 22

2 Topologia della retta 31
2.1 La topologia della retta 31
2.2 Gli intervalli 31
2.3 Gli intorni 32
2.4 Insiemi limitati e illimitati 34
2.5 Massimi, minimi ed estremi 36
2.6 I punti di accumulazione 38
2.7 Esercizi 40
2.7.1 Esercizi dei singoli paragrafi 40

3 Introduzione alle funzioni 43
3.1 Cos’è una funzione 43
3.1.1 Argomenti di una funzione 43
3.2 Costruiamo funzioni 44
3.3 Argomenti, Dominio e Insieme di Definizione 47
3.4 Risultato, Codominio e Insieme Immagine 48
3.4.1 Altre convenzioni 48
3.5 Rappresentazione di una generica funzione 49
3.5.1 Diagrammi 49
3.5.2 Notazioni matematiche 49
3.6 Funzioni reali 50
3.6.1 Tabella di alcuni valori di una funzione 51
3.6.2 Scrittura matematica 52
3.6.3 Visualizzazione su due assi 52
3.7 Rappresentazione cartesiana 53
3.7.1 Grafico di una funzione 54
3.7.2 Disegnare grafici con Python 55
3.8 Esercizi 56
3.8.1 Esercizi dei singoli paragrafi 56

4 Funzioni 59
4.1 Definizione di funzione 59
4.2 La rappresentazione di una funzione 62
4.3 Le proprietà di una funzione 62
4.4 Le caratteristiche di una funzione 64
4.4.1 Monotonia 64
4.4.2 Parità 65
4.4.3 Periodicità 67
4.4.4 Limitatezza 69
4.5 La classificazione delle funzioni 70
4.6 Funzioni inverse, composte e uguali 70
4.7 Esercizi 76
4.7.1 Esercizi dei singoli paragrafi 76

5 Funzioni: limiti e continuità 81
5.1 Limiti 81
5.2 Continuità 86
5.2.1 Definizione di continuità in un punto 86
5.2.2 Definizione di continuità in un intervallo 87
5.3 Esercizi 91
5.3.1 Esercizi dei singoli paragrafi 91

6 Derivate 93
6.1 Introduzione 93
6.2 Velocità di caduta 93
6.3 Continuità 94
6.4 Differenziale 95
6.4.1 Differenziale della variabile x 97
6.4.2 Differenziale di alcune funzioni 98
6.4.3 Combinare differenziali 105
6.4.4 Problemi con i differenziali 108
6.5 Introduzione alla derivata 109
6.5.1 Pendenza di una retta 109
6.6 Derivata: definizione 113
6.7 Derivare funzioni algebriche 119
6.8 Regole di derivazione 122
6.9 Derivare funzioni composte e funzioni inverse 124
6.9.1 Funzioni composte 124
6.9.2 Funzioni inverse 126
6.10 Derivare funzioni trascendenti 129
6.10.1 Derivata di f(x) = ax 129
6.10.2 Derivata di f(x) = loga x 130
6.10.3 Derivata di funzioni circolari 132
6.11 Applicazioni 135
6.11.1 Derivata e tangente 135
6.11.2 Derivata e normale 136
6.11.3 Derivata della derivata 137
6.11.4 Derivata, differenza e differenziale 138
6.11.5 Sintesi 140
6.11.6 Applicazioni non solo matematiche 140
6.12 Esercizi 143
6.12.1 Esercizi dei singoli paragrafi 143
6.12.2 Esercizi sulle derivate 144
6.12.3 Problemi che coivolgono l’uso della derivata 150

7 Teoremi sulle funzioni continue 153
7.1 Continuità 153
7.1.1 Continuità e derivabilità 153
7.2 Massimi e minimi 153
7.2.1 Numeri iperinteri 155
7.2.2 Alcuni teoremi delle funzioni continue 156

8 Studio di funzioni 161
8.1 Descrizione del grafico 161
8.1.1 Descrizione a parole 162
8.2 Analisi della funzione 163
8.2.1 Le prime caratteristiche 163
8.3 Comportamento asintotico 165
8.3.1 Comportamento agli estremi del campo di esistenza 165
8.3.2 Asintoti 165
8.3.3 Asintoti obliqui 165
8.4 Andamento 166
8.4.1 Punti stazionari 166
8.4.2 Intervalli di monotonia 166
8.5 Concavità 167
8.6 Altre caratteristiche 168
8.7 Esercizi 169

9 Integrali 171
9.1 Un problema di area 171
9.2 L’area sottesa ad una funzione 173
9.3 Definizione 174
9.4 Somme di Riemann inferiore e superiore 175
9.5 Proprietà degli integrali 177
9.5.1 Proprietà rettangolare 177
9.5.2 Altre proprietà 177
9.5.3 Definizione di opposto 177
9.5.4 Proprietà additiva 178
9.6 Funzione integrale 178
9.7 Teorema fondamentale dell’analisi 181
9.7.1 Dimostrazione grafica 181
9.7.2 Dimostrazione algebrica 181
9.8 Integrali indefiniti 182
9.9 Calcolo dell’integrale definito 182
9.10 Esercizi 184
9.10.1 Esercizi dei singoli paragrafi 184
9.10.2 Esercizi riepilogativi 185

10 Variabili aleatorie 187
10.1 Variabili aleatorie discrete 188
10.1.1 Valori sintetici delle distribuzioni 190
10.1.2 Proprietà dei valori sintetici 190
10.2 Variabili aleatorie standardizzate 192
10.3 Distribuzioni discrete di uso comune 192
10.3.1 Distribuzione uniforme 192
10.3.2 Distribuzione binomiale 193
10.3.3 Distribuzione di Poisson 195
10.4 Variabili aleatorie continue 197
10.4.1 Valori sintetici delle distribuzioni continue 198
10.5 Distribuzioni continue di uso comune 199
10.5.1 Distribuzione uniforme 199
10.5.2 Distribuzione esponenziale 200
10.5.3 Distribuzione normale 201
10.6 Esercizi 203
10.6.1 Esercizi dei singoli paragrafi 203

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