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Indice del secondo volume
Prefazione
Prefazione alla seconda edizione vii
Prefazione all'edizione 2016 vii
Prefazione all'edizione 2017 vii
Prefazione all'edizione 2018 viii
I Aritmetica e Algebra 1
1 Radicali 3
1.1 Dai numeri naturali ai numeri irrazionali 3
1.2 I numeri reali 5
1.3 Valore assoluto 5
1.3.1 Proprietà del valore assoluto 6
1.4 Dalle potenze alle radici 7
1.4.1 Osservazioni sulle potenze 7
1.5 Definizioni 7
1.6 Potenze ad esponente razionale 9
1.7 Semplificazione di radici 10
1.8 Moltiplicazione e divisione di radici 11
1.9 Portare un fattore sotto il segno di radice 12
1.10 Portare un fattore fuori dal segno di radice 13
1.11 Potenza di radice e radice di radice 14
1.12 Somma di radicali 14
1.13 Razionalizzazione del denominatore di una frazione 15
1.14 Equazioni, disequazioni e sistemi a coefficienti irrazionali 16
1.14.1 Equazioni di primo grado 17
1.14.2 Disequazioni di primo grado 17
1.14.3 Sistemi di primo grado 17
1.15 Radicandi letterali 18
1.15.1 Condizioni di esistenza 18
1.15.2 Operazioni con radicali letterali 19
1.16 Esercizi 24
1.16.1 Esercizi dei singoli paragrafi 24
II Geometria 33
2 Rette nel piano cartesiano 35
2.1 Equazioni lineari in due variabili 35
2.2 Equazioni della retta 36
2.3 Come disegnare le rette 38
2.4 Coefficienti dell'equazione esplicita 38
2.4.1 Il coefficiente angolare 39
2.4.2 Disegno rapido 40
2.5 Rette parallele e perpendicolari 41
2.6 Retta per due punti 42
2.7 Fasci di rette 43
2.7.1 Formula della retta per due punti 43
2.8 Distanza punto retta 43
2.9 Intersezione di rette 44
2.10 Esercizi 46
2.10.1 Esercizi dei singoli paragrafi 46
2.10.2 Esercizi riepilogativi 52
3 Rette parallele 53
3.1 Rette parallele 53
3.1.1 Rette parallele tagliate da una trasversale 54
3.2 Somma degli angoli interni di un triangolo 55
3.3 Somma degli angoli interni di un poligono 56
3.4 Generalizzazione dei criteri di congruenza dei triangoli 56
3.4.1 Congruenze di triangoli rettangoli 58
3.5 Disuguaglianze tra gli elementi di un triangolo 59
3.6 Esercizi 63
3.6.1 Esercizi dei singoli paragrafi 63
4 Quadrilateri 69
4.1 Generalità sui quadrilateri 69
4.1.1 Distanza di un punto da una retta e altezza di una striscia di piano 69
4.1.2 Generalità sui poligoni 69
4.2 Trapezio e deltoide 70
4.2.1 Proprietà del trapezio 70
4.2.2 Proprietà del deltoide 72
4.3 Proprietà dei parallelogrammi 72
4.4 Parallelogrammi particolari 76
4.5 Esercizi 79
4.5.1 Esercizi riepilogativi 79
5 Equiestensione e aree 83
5.1 Estensione superficiale 83
5.2 Poligoni equivalenti 85
5.3 Aree dei principali poligoni 89
5.3.1 Area del rettangolo 89
5.3.2 Area del quadrato 89
5.3.3 Area del parallelogramma 89
5.3.4 Area del triangolo 89
5 Area del trapezio 90
5.3.6 Area del rombo 90
5.4 Teoremi di Pitagora e di Euclide 90
5.5 Applicazioni dei teoremi di Euclide e Pitagora 92
5.6 Applicazioni dell'algebra alla geometria 94
5.6.1 Triangoli rettangoli con angoli di 45° 94
5.6.2 Triangoli rettangoli con angoli di 30° e 60° 94
5.6.3 Formula di Erone per il calcolo dell'area di un triangolo 95
5.7 Esercizi 96
5.7.1 Esercizi dei singoli paragrafi 96
6 Trasformazioni con la geometria interattiva 101
6.1 Caratteri generali 101
6.1.1 Strumenti di pyig 101
6.2 Traslazione 102
6.2.1 Definizione 102
6.2.2 Proprietà 103
6.2.3 Elementi uniti 105
6.2.4 Equazioni delle traslazioni 106
6.3 Simmetria assiale 108
6.3.1 Definizione 108
6.3.2 Proprietà 109
6.3.3 Elementi uniti 112
6.3.4 Poligoni simmetrici 113
6.3.5 Equazioni di alcune simmetrie assiali 115
6.4 Rotazione 117
6.4.1 Definizione 117
6.4.2 Proprietà 119
6.4.3 Elementi uniti 120
6.4.4 Equazioni di alcune rotazioni 121
7 Trasformazioni geometriche piane 123
7.1 Generalità sulle trasformazioni geometriche piane 123
7.1.1 Introduzione e definizioni 123
7.2 Le isometrie 127
7.2.1 La simmetria centrale 127
7.2.2 La simmetria assiale 129
7.2.3 La traslazione 131
7.2.4 La rotazione 132
7.3 Composizione di isometrie 134
7.3.1 Composizione di isometrie di tipo diverso 134
7.3.2 Composizione di isometrie dello stesso tipo 134
7.3.3 Isometria inversa 135
7.3.4 Descrizione analitica di una simmetria centrale 140
7.4 Esercizi 144
7.4.1 Trasformazioni nella geometria sintetica 144
7.4.2 Trasformazioni nella geometria analitica 148
III Relazioni e funzioni 153
8 Disequazioni 155
8.1 Disuguaglianze chiuse e aperte 155
8.2 Intervalli sulla retta reale 156
8.3 Segno di un binomio di primo grado 158
8.4 Segno di un prodotto 160
8.5 Segno di un quoziente 161
8.6 Disequazioni numeriche 163
8.6.1 Principi di equivalenza delle disequazioni 163
8.6.2 Soluzione di una disequazione lineare 164
8.6.3 Un caso particolare 164
8.6.4 Prodotto o quoziente di polinomi 165
8.6.5 Sistema di disequazioni 167
8.6.6 Soluzione di disequazioni letterali 168
8.6.7 Problemi con le disequazioni 170
8.7 Esercizi 171
8.7.1 Esercizi dei singoli paragrafi 171
8.7.2 Esercizi riepilogativi 176
9 Sistemi di equazioni 179
9.1 Equazione lineare in due incognite 179
9.1.1 Rappresentazione di un'equazione lineare sul piano cartesiano 180
9.2 Definizione di sistema di equazioni 181
9.3 Metodi di soluzione di sistemi di equazioni 182
9.3.1 Procedimento per ottenere la forma canonica di un sistema 182
9.3.2 Sistemi indeterminati o impossibili 183
9.3.3 Metodo di sostituzione 183
9.3.4 Metodo di riduzione 185
9.3.5 Il metodo grafico 186
9.4 Sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite 188
9.5 Esercizi 190
9.5.1 Esercizi dei singoli paragrafi 190
9.5.2 Esercizi riepilogativi 194
IV Dati e previsioni 199
10 La probabilità 201
10.1 Gli eventi 201
10.2 Definizioni di probabilità 202
10.2.1 La valutazione classica 204
10.2.2 La valutazione sperimentale 205
10.2.3 La valutazione soggettiva 206
10.3 Probabilità dell'unione di due eventi 207
10.3.1 Unione di due eventi tra loro incompatibili 207
10.3.2 Unione di due eventi tra loro compatibili 208
10.4 Probabilità dell'evento complementare 209
10.5 La probabilità dell'evento intersezione di due eventi 210
10.5.1 Intersezione di due eventi tra loro indipendenti 210
10.6 Esercizi 214
10.6.1 Esercizi dei singoli paragrafi 214
V Elementi di informatica 223
11 Approfondimenti di Geometria interattiva 225
11.1 Altri strumenti della la geometria interattiva 225
11.1.1 Orthogonal 226
11.1.2 Parallel 227
11.1.3 MidPoints 227
11.1.4 MidPoint 227
11.1.5 Bisector 228
11.1.6 PointOn 228
11.1.7 ConstrainedPoint 228
11.1.8 parameter 229
11.1.9 Text 229
11.1.10 VarText 229
11.1.11 Calc 230
11.1.12 Riassumendo 231
11.2 Insegnare a pyig 231
11.2.1 Funzioni 231
11.2.2 Riassumendo 234
11.3 Iterazione 234
11.3.1 Poligoni regolari 236
11.3.2 Riassumendo 238
11.4 Altri problemi 238
46 Capitolo 3. Il piano cartesiano
0) 5) 5) 0)
O(0; A(4; B(9; C(3;
3.18. I punti , , , sono i vertici di un trapezio. Determina perimetro e
OABC
area del trapezio
3.19. Determina le coordinate del punto medio dei segmenti i cui estremi sono le seguenti coppie
di punti: √ √ √
√ √
3
1
2; 0), 2)
A(− B(0;
a) 2; 2;
1 ,
√ −
A + B −
e) 3
3
32 1
2
; , ; 3
− B −
A
b) 75 75
3 6 ; ,
A − B(1; −1)
f )
4),
A(−1; B(1; −4)
c) 12 12
, ;
A −3; B −3
g )
3
0; , (−2;
A − B −1)
d) 2 23 3 16 43
; ; 1 ; 0
ABC A − B − C
3.20. I vertici del triangolo sono i punti , , , determina le coordi-
2
M N P AB AC BC
nate dei punti , , , punti medi rispettivamente dei lati , ,
5) 5)
ABC A(−3; B(3; −5) C(3, M N P
3.21. I vertici del triangolo sono i punti , , , i punti , , sono i
AB AC BC ABC MNP
punti medi rispettivamente dei lati , , Determina il perimetro di e di Quale
relazione sussiste tra i perimetri ottenuti? Secondo te vale la stessa relazione anche tra le aree dei
due triangoli? 3)
A(2; B(6; −1) C(−4; −3)
3.22. Verifica che il triangolo di vertici , , è rettangolo (è sufficiente
CB
verificare che le misure dei lati verificano la relazione di Pitagora). È vero che è l’ipotenusa?
AM M BC BC AMC
Verifica che , con punto medio di è metà di stesso. Come sono i triangoli
AMB
e ? 1 34 72
1)
; 2 ; ;
AB CD A B − C(3; D −
−2 −1
3.23. Verifica che i segmenti e di estremi , , , hanno
2
AC = BD
lo stesso punto medio. È vero che ?
2) 5) 3)
A(3; B(2; C(−4;
3.24. Verifica che il triangolo di vertici , , è rettangolo e calcola l’area. [10]
3) 6)
A(−4; B(−1; −2) C(1;
3.25. Verifica che il triangolo di vertici , , è isoscele e calcola l’area.
[17] 4) 0)
AB A(0; B(−2; C(2; −2)
3.26. Determinare la mediana relativa al lato del triangolo di vertici , ,
[5] 0) 3)
A(0; B(4; C(2; −3)
3.27. Calcola le coordinate del baricentro G del triangolo di vertici , ,
[(2; 0)] 4) 5)
A(−3; B(−1; −3) C(1;
3.28. Calcola le coordinate del baricentro G del triangolo di vertici , ,
[(-1; 2)] 4
Rette nel piano cartesiano
4.1 Equazioni lineari in due variabili 6
0 0
ax + b = a =
Abbiamo visto che tutte le equazioni del tipo: hanno una soluzione se . Ma
sulle equazioni lineari (di primo grado) con due incognite, cosa possiamo dire? Consideriamo
3x 2y 6 0
+ − =
l’equazione: ha una soluzione? Ma prima ancora, cosa significa una soluzione
per questa equazione? La soluzione per una equazione in due incognite non è un numero, ma una
x y
coppia di numeri il primo da mettere al posto della e il secondo da mettere al posto della per
rendere vera l’uguaglianza. Possiamo quindi precisare la seguente definizione:
Definizione 4.1. La soluzione di un’equazione a due incognite è la coppia ordinata di numeri
che sostituiti ordinatamente alle incognite rendono vera l’uguaglianza. 3)
(0;
Si possono trovare molte soluzione di questa equazione, due sono semplici da trovare:
0)
(2;
e . Si possono verificare facilmente:
· ·
3 0 2 3 6 0
+ − =
· ·
3 2 2 0 6 0
+ − =
Ne esistono altre? y
... ...
... ...
... ...
... ...
· ·
3) 3 0 2 3 6 0
(0; + − = x
· ·
0) 3 2 2 0 6 0
(2; + − =
· ·
3 4 2 6 0
(4; −3) + (−3) − =
· ·
3 6 2 6 0
(6; −6) + (−6) − =
· ·
3 8 2 6 0
(8; −9) + (−9) − =
· ·
3 10 2 6 0
(10; −12) + (−12) − = F 4.2: I corrispondenti punti nel
F 4.1: Soluzioni equazione. IGURA
IGURA piano.
Sapresti individuare la regola con la quale ho costruito le soluzioni? Sapresti aggiungere altre
soluzioni che precedono quelle trovate da me?
In generale una equazione lineare in due incognite ha infinite soluzioni che sono coppie di
numeri. Ma abbiamo già visto che una coppia di numeri rappresenta un punto nel piano cartesiano
quindi ogni soluzione rappresenta un punto del piano vedi figura 4.2.
47
48 Capitolo 4. Rette nel piano cartesiano
Possiamo osservare che i punti sono tutti allineati, ma cosa succede tra due punti? Per renderci
più agevole il calcolo modifichiamo l’equazione di partenza ottenendo una equazione equivalente
. . .
y =
del tipo: : 3
⇔ ⇔
3x 2y 6 0 2y 6 3
+ − = = −3x + y = − x +
2 x
Possiamo costruire una tabella inserendo nella prima colonna dei valori scelti da noi e nella
y
y
seconda i corrispondenti valori di calcolati, magari con l’uso della calcolatrice. Poi riportiamo
questi valori in un piano cartesiano.
x y
0 3
2,25
0,5
1 1,5
0,75
1,5
2 0 x
O
F 4.3: Altre soluzioni. F 4.4: Altri punti.
IGURA IGURA
Tra due punti calcolati possiamo inserirne quanti vogliamo, ma saranno sempre allineati con gli
altri.
Si può dimostrare che tutte le soluzioni dell’equazione sono punti allineati e che tutti i punti
che sono allineati con due qualunque di quella retta hanno coordinate che sono soluzioni di
quell’equazione. y x
3x 2y 6 0
+ − =
F 4.5: Retta di equazione: .
IGURA
I matematici dicono che c’è una corrispondenza biunivoca tra le soluzioni di quell’equazione
e i punti di quella retta per cui dicono che quella equazione è l’equazione della retta e che quella
retta è il grafico dell’equazione.
4.2 Equazioni della retta
Nel paragrafo precedente abbiamo scritto l’equazione della retta in due modi diversi. A questi
due modi di scrivere l’equazione sono stati dati dei nomi:
Sezione 4.2. Equazioni della retta 49
3x 2y 6 0
á + − = : equazione implicita;
3 3
á y = − x + : equazione esplicita.
2
In generale un’equazione implicita è un’equazione nella forma:
0
ax + by + c =
e un’equazione esplicita è un’equazione nella forma:
y = mx + q
a, b, c, m, q x, y
dove sono dei parametri numerici mentre sono delle variabili.
á x è la variabile a cui diamo noi dei valori e si chiama variabile indipendente;
á y è la variabile il cui valore viene calcolato e si chiama variabile dipendente.
a b
Cosa succede se nell’equazione implicita o valgono zero? Otteniamo delle equazioni
x y
senza la o senza la . Possiamo osservare che anche le equazioni di primo grado con una sola
variabile rappresentano delle rette:
á s y = −2
la retta di equazione è l’insieme dei punti del piano che hanno l’ordinata uguale
−2
a e qualunque ascissa;
3 3
á t y =
la retta di equazione è l’insieme dei punti del piano che hanno l’ordinata uguale a e
qualunque ascissa;
á q x = −4
la retta di equazione è l’insieme dei punti del piano che hanno l’ascissa uguale
−4
a e qualunque ordinata;
1 1
á r x =
la retta di equazione è l’insieme dei punti del piano che hanno l’ascissa uguale a e
qualunque ordinata. y
y q r
t x
x O
O s
F 4.6: Rette parallele all’asse x. F 4.7: Rette parallele all’asse y.
IGURA IGURA
Vedi le figure:4.6 e 4.7 0
ax + by + c = a b c
In conclusione l’equazione al variare dei parametri , , , rappresenta tutte
le rette del piano.
50 Capitolo 4. Rette nel piano cartesiano
4.3 Come disegnare le rette
Quando vogliamo disegnare una retta partendo dalla sua equazione, possiamo applicare la
seguente procedura:
Procedura 4.1. Per disegnare una retta:
y = mx + q
a) ricava l’equazione esplicita x y
b) riempi una tabella con alcuni valori di scelti da te e i corrispondenti valori di calcolati;
(x; y)
c) per ogni coppia , disegna un punto sul piano cartesiano;
d) disegna una retta che passi per quei punti.
Consideriamo un altro esempio. 2y 6 0
x + + =
Procedura 4.2. disegna la retta che ha per equazione: :
1 3
x −
y = −
a ) l’equazione esplicita è 2
x x
b ) Nel calcolo, ogni valore di dovrà essere diviso per due, quindi, per scegli valori pa-
y
ri che sono più comodi, costruisci la tabella e calcola i corrispondenti valori di , vedi
figura 4.8;
c ) disegna nel piano cartesiano i punti che ci stanno;
d ) disegna la retta che passa per quei punti, vedi figura 4.9. y
x y
-6 -6
-4 -5
-2 -4
0 -3 x
O
2 -2
4 -1
6 -0
F 4.8: Tabella.
IGURA F 4.9: Disegno di una retta.
IGURA
Ma ho proprio bisogno di tutti quei punti? Per individuare una retta bastano 2 punti quindi noi ne
useremo... 3! In questo modo se i punti non appariranno allineati sapremo che abbiamo commesso
un errore o nel calcolo o nel disegno. Un punto ci serve come controllo (come l’ultimo carattere del
codice fiscale).
4.4 Coefficienti dell’equazione esplicita
Prima di procedere dobbiamo procurarci un po’ di esempi su cui ragionare. Disegna, in un
piano cartesiano, le seguenti rette:
Sezione 4.4. Coefficienti dell’equazione esplicita 51
1 4
2
2 2
y = − y = −3x + y =
x + x +
a ) c ) e )
2 3
23 13
2x 2
y = +
d )
2 2
x +
y = − x +
y =
b ) f )
Disegna in un altro piano cartesiano queste altre rette:
12 1 1
6 1 2
y = x − y = x − y = x +
a ) c ) e )
2 2
12 1 12
4 5
y = x − y = x y = x +
b ) d ) f )
2
Confrontando cosa cambia e cosa resta uguale nei due gruppi di equazioni e di rette possiamo
y = mx + q
concludere che nell’equazione :
á q y
il coefficiente indica il punto in cui la retta interseca l’asse e viene anche detto intercetta
o termine noto;
á m
il coefficiente è legato alla pendenza della retta e viene anche detto coefficiente angolare;
4.4.1 Il coefficiente angolare
Sul coefficiente angolare possiamo fare alcune osservazioni:
1. se è positivo la retta è crescente;
2. se è negativo la retta è decrescente;
3. se non è né positivo né negativo la retta non è né crescente né decrescente, è costante;
4. più si avvicina a zero più la retta si avvicina all’orizzontale;
5. più si allontana da zero, sia in positivo (crescendo) sia in negativo (decrescendo), più la retta
si avvicina alla verticale;
6. non esiste alcun coefficiente angolare che produca una retta verticale.
y
m < −1 1 <m
m 1
= =
−
1 m
0 < m < −1 0 1
<m<
0
m = x
O
F 4.10: Coefficienti angolari.
IGURA
52 Capitolo 4. Rette nel piano cartesiano
3 2
y = A(−3; −4) B(−1; −1)
x −
Se consideriamo una retta, ad es. e alcuni suoi punti ad es. , ,
2
2) 5)
C(1; D(−3;
, , possiamo osservare che il rapporto tra gli incrementi delle ordinate e delle
ascisse, cioè l’aumento dell’ordinata diviso l’aumento dell’ascissa, è sempre lo stesso vedi figura:
4.12. y D
C
y − y
B A 3
= = m
2
x − x
B A
y − y
C A 6 32 y − y
= = = m D A
4
x − x x
C A O
B
y − y
D A 32
9 y − y
= = m
= C A
6
x − x
D A y − y
B A
F 4.11: Tre rapporti incrementali sulla stessa
IGURA
retta. A x − x
B A
x − x
C A
x − x
D A ∆y .
F 4.12:
IGURA ∆x
In generale, dati due punti qualunque di una retta:
∆y
m = ∆x
.
4.4.2 Disegno rapido
L’ultima osservazione ci permette di usare un metodo rapido per disegnare le rette, un metodo
applicabile quando il coefficiente angolare è una frazione e l’intercetta un numero intero (la maggior
parte degli esercizi propone rette di questo tipo). Questo metodo ci mette in grado di disegnare una
retta in 10 secondi circa. Per ottenere questi tempi deve permetterci di disegnare la retta senza
farci fare calcoli, perché il nostro cervello non è adatto a fare calcoli.
y = mx + q
Procedura 4.3. Disegna la retta che ha per equazione: :
q ∆x ∆y
a ) individua: , e y q
b ) disegna sull’asse il punto di ordinata
∆x ∆y
c ) a partire da questo punto conta quadretti verso destra e quadretti verso l’alto
segna questo punto; y
d ) ripeti l’operazione c) per trovare altri punti sia a destra sia a sinistra dell’asse .
e ) disegna la retta che passa per quei punti, vedi figura 4.14.
4.5 Rette parallele e perpendicolari
Se abbiamo capito il significato di coefficiente angolare, non è difficile, guardando l’equazione di
due rette dire se sono parallele. Nel seguente elenco evidenzia con colori diversi le rette parallele:
Sezione 4.6. Retta per due punti 53
y
23 4
r : y = − x + +2
4
q = −3
3
∆x = +2
∆y = −2 +3
−3 −2
−2
(andare verso l’alto di
significa...) +3 −2 x
+3
F 4.13: Elementi da
IGURA −2
individuare. F 4.14: Metodo rapido.
IGURA
12 4 2
7 3 7 2x 4y 2 0
y = − x + x + x +
y = y = − − + =
a ) d ) g ) j )
6 3
23 53 13 69
53 10x 15y 2
+ +
k )
2
y = − x + y = y =
x + x +
b ) e ) h ) 3x 7 0
12 − y + =
l )
3x 2 9y 0
y = + −3x + =
c ) i )
3
y = − x +
f )
Definizione 4.2. Due rette sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare.
r
Per le rette perpendicolari il problema è più complicato. Partiamo da disegnare la retta di
45
y = s
x
equazione poi ci procuriamo un oggetto dotato di un angolo retto e disegniamo la retta
0)
r (0;
perpendicolare a nel punto . Dobbiamo disegnare con la massima precisione.
