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Di seguito trovi l'indice e i link per scaricare il terzo volume con la relativa copertina.
Indice del terzo volume
Prefazione
Prefazione alla seconda edizione vii
Prefazione all'edizione 2016 vii
Prefazione all'edizione 2017 vii
Prefazione all'edizione 2018 viii
1 Divisibilità e scomposizione di polinomi 1
1.1 Divisione tra polinomi 1
1.1.1 Algoritmo di Euclide 1
1.1.2 Regola di Ruffini 5
1.1.3 Teorema di Ruffini 7
1.2 Scomposizione in fattori 8
1.2.1 Cosa vuol dire scomporre in fattori 8
1.2.2 Raccoglimento fattore comune 9
1.2.3 Raccoglimento parziale 11
1.2.4 Riconoscimento di prodotti notevoli 12
1.2.5 Altre tecniche di scomposizione 16
1.2.6 Scomposizione mediante metodi combinati 21
1.3 Esercizi 24
1.3.1 Esercizi dei singoli paragrafi 24
1.3.2 Esercizi riepilogativi 31
2 Frazioni algebriche 33
2.1 Divisore comune e multiplo comune 33
2.1.1 Massimo Comun Divisore 33
2.1.2 Minimo comune multiplo 34
2.2 Definizione di frazione algebrica 34
2.3 Condizioni di esistenza per una frazione algebrica 35
2.4 Semplificazione di una frazione algebrica 36
2.5 Moltiplicazione di frazioni algebriche 37
2.6 Divisione di frazioni algebriche 38
2.7 Potenza di una frazione algebrica 39
2.7.1 Casi particolari dell'esponente 39
2.8 Addizione di frazioni algebriche 40
2.9 Esercizi 42
2.9.1 Esercizi dei singoli paragrafi 42
3 Complementi di algebra di primo grado 49
3.1 Equazioni di grado superiore al primo riducibili al primo grado 49
3.2 Equazioni numeriche frazionarie 50
3.3 Equazioni letterali 51
3.4 Equazioni letterali e formule inverse 53
3.5 Sistemi da risolvere con sostituzioni delle variabili 54
3.6 Esercizi 55
3.6.1 Esercizi dei singoli paragrafi 55
4 Equazioni di secondo grado 61
4.1 Le equazioni di secondo grado in una incognita 61
4.1.1 Risoluzione di un'equazione di secondo grado pura 61
4.1.2 Risoluzione di un'equazione incompleta spuria 62
4.2 Risoluzione di un'equazione completa 62
4.2.1 Formula ridotta per equazioni di secondo grado 64
4.3 Equazioni numeriche frazionarie 65
4.4 Relazioni tra soluzioni e coefficienti 66
4.4.1 Determinare due numeri conoscendone la somma e il prodotto 68
4.5 Scomposizione del trinomio di secondo grado 68
4.6 Equazioni parametriche 69
4.7 Problemi di secondo grado in una incognita 70
4.8 L'equazione di terzo grado, un po' di storia 73
4.9 Equazioni riconducibili al prodotto di due o più fattori 74
4.10 Sistemi di secondo grado 75
4.10.1 Sistemi di secondo grado numerici 76
4.11 Sistemi simmetrici 79
4.11.1 Sistemi simmetrici di secondo grado 80
4.11.2 Esercizi dei singoli paragrafi 82
5 La parabola nel piano cartesiano 95
5.1 Rappresentazione del trinomio di secondo grado 95
5.2 Significato geometrico dei coefficienti 97
5.3 Tracciare parabole 99
5.4 Parabola e retta 102
5.5 Rette tangenti ad una parabola 103
5.6 Intersezioni tra parabole 106
5.7 Ricerca dell'equazione di una parabola 107
5.8 Altre parabole 108
5.9 Esercizi 109
5.9.1 Esercizi dei singoli paragrafi 109
6 Disequazioni 113
6.1 Risoluzione delle disequazioni di secondo grado 113
6.1.1 Studio del segno di un trinomio di secondo grado 113
6.2 Disequazioni polinomiali di grado superiore 115
6.3 Disequazioni fratte 118
6.4 Sistemi di disequazioni 121
6.5 Esercizi 124
6.5.1 Esercizi dei singoli paragrafi 124
7 Dai Naturali agli Iperreali 131
7.1 Dai numeri naturali ai numeri irrazionali 131
7.1.1 I numeri naturali N 131
7.1.2 I numeri interi Z 131
7.1.3 I numeri razionali Q 132
7.1.4 I numeri reali R 133
7.1.5 I numeri complessi C 135
7.2 I numeri iperreali fiR 135
7.2.1 Il problema della velocità 135
7.2.2 Infinitesimi..e infiniti 136
7.2.3 Tipi di Iperreali 137
7.2.4 Numeri infinitamente vicini 138
7.2.5 Iperreali finiti e parte standard 139
7.2.6 Retta Iperreale e strumenti ottici 140
7.2.7 Operazioni 142
7.2.8 Confronto 145
7.2.9 Indistinguibili 148
7.2.10 Principio di tranfer 150
7.3 Applicazioni 151
7.3.1 Problemi con gli Iperreali 151
7.3.2 Espressioni con gli Iperreali 152
7.4 Esercizi 155
7.4.1 Esercizi dei singoli paragrafi 155
8 Proporzionalità e similitudine 163
8.1 La misura 163
8.1.1 Classi di grandezze omogenee 163
8.2 Proporzionalità tra grandezze 167
8.2.1 Proprietà delle proporzioni 168
8.2.2 Grandezze direttamente e inversamente proporzionali 169
8.2.3 Grandezze inversamente proporzionali 171
8.3 Teorema di Talete, caso generale 172
8.3.1 Conseguenze del teorema di Talete 173
8.4 Avere la stessa forma 176
8.5 La similitudine nei triangoli 177
8.5.1 Proprietà dei triangoli simili 179
8.6 Similitudine tra poligoni 180
8.6.1 Similitudine tra poligoni regolari 181
8.7 Proprietà di secanti e tangenti ad una circonferenza 182
8.8 La sezione aurea 183
8.8.1 Il punto di vista algebrico 183
8.8.2 Il punto di vista geometrico 183
8.9 Esercizi 186
8.9.1 Esercizi dei singoli paragrafi 186
9 Goniometria 197
9.1 Angoli e archi 197
9.2 La circonferenza goniometrica 198
9.3 Le funzioni circolari 199
9.4 Relazioni tra le funzioni circolari 201
9.4.1 Relazione fondamentale della goniometria 201
9.4.2 Tangente in funzione di seno e coseno 201
9.4.3 Traslazione di seno e coseno 202
9.5 Angoli associati 202
9.6 Angoli particolari 202
9.6.1 Digressione pitagorica 203
9.6.2 Angolo di 30° 204
9.6.3 Angolo di 45° 204
9.6.4 Angolo di 60° 204
9.7 Formule goniometriche 205
9.8 Equazioni goniometriche 206
9.8.1 Equazioni goniometriche elementari 206
9.9 Disequazioni goniometriche 208
9.9.1 Funzioni periodiche e Iperreali 209
9.10 Esercizi 211
9.10.1 Esercizi dei singoli paragrafi 211
10 Trigonometria 217
10.1 Prime definizioni 217
10.2 Due identità fondamentali 218
10.3 Usare la calcolatrice 219
10.4 Risoluzione di triangoli rettangoli 221
10.4.1 Proiezione di un segmento lungo una direzione 222
10.5 Risoluzione di un triangolo qualsiasi con triangoli rettangoli 222
10.5.1 Quadrilateri 223
10.5.2 Applicazioni della trigonometria 223
10.6 Risoluzione di un triangolo qualunque 225
10.6.1 Caso I: due lati e l'angolo compreso congruenti 226
10.6.2 Caso II: tre lati congruenti 227
10.6.3 Caso III: un lato e gli angoli congruenti 227
10.6.4 Rifiessioni sull'uso del teorema dei seni 228
10.7 Esercizi 229
10.7.1 Esercizi dei singoli paragrafi 229
11 Vettori 237
11.1 Prime definizioni 237
11.2 Operazioni con i vettori 240
11.2.1 Somma di vettori 240
11.2.2 Differenza tra vettori 242
11.2.3 Moltiplicazione di un numero reale per un vettore 243
11.2.4 Il prodotto scalare 244
11.2.5 Il prodotto vettoriale 244
11.3 Esercizi 246
12 Statistica descrittiva bivariata 247
12.1 Indagine statistica 247
12.2 Fasi di un'indagine statistica 248
12.2.1 Spoglio delle schede e tabulazione 249
12.2.2 Rappresentazione grafica 250
12.3 Indici di posizione 254
12.3.1 Moda 255
12.3.2 Media aritmetica 255
12.3.3 Mediana 257
12.4 Indici di variabilità 257
12.4.1 Scarto medio assoluto 258
12.4.2 Varianza e scarto quadratico medio 258
12.4.3 Coefficiente di variazione 259
12.5 Tabelle a doppia entrata 260
12.6 Indipendenza e connessione 263
12.6.1 L'indipendenza statistica 263
12.6.2 Il Chi quadro 263
12.6.3 Il Chi quadro normalizzato 264
12.7 Correlazione 265
12.7.1 La correlazione tra due variabili quantitative 265
12.7.2 Il concetto di covarianza 265
12.7.3 Coefficiente di correlazione lineare 266
12.7.4 La retta di regressione 267
12.8 Schema riassuntivo: formule della statistica 269
12.9 Esercizi 270
12.9.1 Esercizi dei singoli paragrafi 270
12 Capitolo 1. Divisibilità e scomposizione di polinomi
2 2
5ab 10abc 25abx 50acx 5a 2bc 5bx 10cx
á − − + = b − − +
b ) vediamo se è possibile scomporre il polinomio in parentesi con un raccoglimento
2
parziale 5a(b 2bc 5bx 10cx) 5a 2c) 5x(b 2c) 5a(b 2c)(b 5x).
− − + = b(b − − − = − −
1.2.4 Riconoscimento di prodotti notevoli
Differenza di due quadrati
Un binomio che sia la differenza dei quadrati di due monomi può essere scomposto come
prodotto tra la somma dei due monomi (basi dei quadrati) e la loro differenza.
2 2 2 2
· ⇒ ·
(A + B) (A − B) = A − B A − B = (A + B) (A − B).
4 4 2
Scomporre in fattori 25b .
Esempio 1.15. a −
9 2
2 2 2
4 2
4 2 2 2 2
·
25b 5b 5b
(5b)
a − = a − = a + a −
9 3 3 3
6 2
Scomporre in fattori 16y .
Esempio 1.16. −x +
2
2
6 2 3 3 3
·
16y 4y 4y
(4y)
−x + = − x + = x + −x +
2
2
Scomporre in fattori 1) . La formula precedente vale anche se e
Esempio 1.17. (x
a − + A B
2
2 ·
sono polinomi. 1) 1)] 1)] 1)(a 1)
(x [a [a
a − + = + (x + − (x + = (a + x + − x −
2
2 2
Scomporre in fattori 2a .
Esempio 1.18. − b − (4x)
2
2 2 2 2
·
2a 2a 4x 2a 4x
− b − (4x) = − b + − b −
2 2
Scomporre in fattori 3b) 5) .
Esempio 1.19. (a + − (2x −
2 2 ·
3b) 5) 3b 2x 5) 3b 2x 5).
(a + − (2x − = (a + + − (a + − +
Per questo tipo di scomposizioni, la cosa più difficile è riuscire a riconoscere un qua-
drinomio o un polinomio di sei termini come differenza di quadrati. Riportiamo i casi
principali: 2 2 2 2 2
2AB
á (A + B) − C = A + + B − C
2 2 2 2 2
2BC
á A − (B + C) = A − B − − C
2 2 2 2 2 2
2AB 2CD .
á (A + B) − (C + D) = A + + B − C − − D
2 2 2
Scomporre in fattori 4a 4b 4bc.
Esempio 1.20. − − c +
Gli ultimi tre termini possono essere raggruppati per formare il quadrati di un binomio.
2 2 2 2 2 2
4a 4b 4bc 4a 4b 4bc
− − c + = − + c −
2 2 ·
2b 2b
= (2a) − (2b − c) = (2a + − c) (2a − + c).
4 2 2
Scomporre in fattori 4x 4x 1.
Esempio 1.21. − − y +
2
4 2 2 2 2 2 2
·
4x 4x 1 2x 1 1 1
− − y + = − − (y) = (2x − + y) (2x − − y).
Sezione 1.2. Scomposizione in fattori 13
2 2 2
Scomporre in fattori 1 2a 6bc 9c .
Esempio 1.22. a + + + − b −
2 2 2 2 2 2
1 2a 6bc 9c 1 2a 9c 6bc
a + + + − b − = a + + − b + −
2 2 ·
1) 3c) 1 3c) 1 3c).
= (a + − (b − = (a + + b − (a + − b +
Quadrato di un binomio
Uno dei metodi più usati per la scomposizione di polinomi è legato al saper riconoscere
i prodotti notevoli. Se abbiamo un trinomio costituito da due termini che sono quadrati di
due monomi ed il terzo termine è uguale al doppio prodotto degli stessi due monomi, allora
il trinomio può essere scritto sotto forma di quadrato di un binomio, secondo la regola che
segue. 2 2 2 2 2 2
⇒
2AB 2AB
(A + B) = A + + B A + + B = (A + B)
Analogamente nel caso in cui il monomio che costituisce il doppio prodotto sia negativo:
2 2 2 2 2 2
⇒
2AB 2AB
(A − B) = A − + B A − + B = (A − B)
Poiché il quadrato di un numero è sempre positivo, valgono anche le seguenti uguaglianze.
2 2 2 2 2 2
⇒ 2AB
(A + B) = (−A − B) A + + B = (A + B) = (−A − B)
2 2 2 2 2 2
⇒ 2AB .
(A − B) = (−A + B) A − + B = (A − B) = (−A + B)
2 2 4
12ab 9b .
Scomporre in fattori 4a
Esempio 1.23. + + 2
Notiamo che il primo ed il terzo termine sono quadrati, rispettivamente di 2a e di 3b , ed
il secondo termine è il doppio prodotto degli stessi monomi, pertanto possiamo scrivere:
2 2
2 2 4 2 2 2 2
·
4a 12ab 9b 2 3b 2a 3b
+ + = (2a) + cdot(2a) (3b ) + = +
2
Scomporre in fattori 6x 9.
Esempio 1.24. x − +
Il primo ed il terzo termine sono quadrati, il secondo termine compare con il segno “meno”.
2 2 2 2 2 2
· ·
Dunque: 6x 9 2 3 3 3) , ma anche 6x 9 3) .
x − + = x − x + = (x − x − + = (−x +
4 2
Scomporre in fattori 4x 4.
Esempio 1.25. x + + 4 2
Può accadere che tutti e tre i termini siano tutti quadrati. 4x 4 è formato da tre
x + +
quadrati, ma il secondo termine, quello di grado intermedio, è anche il doppio prodotto dei
due monomi di cui il primo ed il terzo termine sono i rispettivi quadrati. Si ha dunque:
2 2
4 2 2 2 2 2
· ·
4x 4 2 2 .
x + + = x + (2) (x ) + (2) = x +
Individuare il quadrato di un binomio:
Procedura 1.6.
a) individuare le basi dei due quadrati;
b) verificare se il terzo termine è il doppio prodotto delle due basi;
c) scrivere tra parentesi le basi dei due quadrati e il quadrato fuori dalla parentesi;
d) mettere il segno “più” o “meno” in accordo al segno del termine che non è un quadrato.
14 Capitolo 1. Divisibilità e scomposizione di polinomi
Può capitare che i quadrati compaiano con il coefficiente negativo, ma si può rimediare
mettendo in evidenza il segno “meno”. 2 2
Scomporre in fattori 12ab 4b .
Esempio 1.26. −9a + −
2 2 2 2 2
Mettiamo a fattore comune 12ab 4b 12ab 4b 2b) .
−1 −9a + − = −(9a − + ) = −(3a −
14
4 2
Scomporre in fattori .
Esempio 1.27. −x − x − 2
1
1 1 2
4 2 4 2 =− x +
−x − x − = − x + x +
4 4 2
2 2 4
Scomporre in fattori 6xy 9y .
Esempio 1.28. −x + − 2
2 2 4 2 2 4 2
6xy 9y 6xy 9y 3y
x + − = − x − + = − x −
Possiamo avere un trinomio che “diventa” quadrato di binomio dopo aver messo qualche
fattore comune in evidenza. 3 2
Scomporre in fattori 2a 20a 50a.
Esempio 1.29. + +
3 2 2 2
Mettiamo a fattore comune 2a, allora 2a 20a 50a 2a(a 10a 25) 2a(a 5) .
+ + = + + = +
2
Scomporre in fattori 2a 4a 2.
Esempio 1.30. + +
2 2 2
2a 4a 2 2 2a 1 2(a 1)
+ + = a + + = +
3 2
Scomporre in fattori 12a 3a.
Esempio 1.31. −12a + −
3 2 2 2
12a 3a 4a 4a 1 1)
−12a + − = −3a − + = −3a(2a −
3 2 2
3ab 6b .
Scomporre in fattori
Esempio 1.32. a + +
8 2
3 1 1
3 3
2 2 2 2
3ab 6b 2ab 4b 2b ,
a + + = a + + a +
=
8 2 4 2 2
o anche 3 3 3
2
2 2 2 2
3ab 6b 8ab 16b 4b)
(a
a + + = a + + = +
8 8 8
Quadrato di un polinomio
Se siamo in presenza di sei termini, tre dei quali sono quadrati, verifichiamo se il polinomio
è il quadrato di un trinomio secondo le seguenti regole.
2 2 2 2 2AB 2AC 2BC.
(A + B + C) = A + B + C + + +
2 2 2 2 2
2AB 2AC 2BC .
A + B + C + + + = (A + B + C) = (−A − B − C)
Notiamo che i doppi prodotti possono essere tutt’e tre positivi, oppure uno positivo e due
negativi: indicano se i rispettivi monomi sono concordi o discordi.
4 2 2 2
Scomporre in fattori 16a 1 8a 8a 2b.
Esempio 1.33. + b + + b + +
2
I primi tre termini sono quadrati, rispettivamente di 4a ,b e 1, si può verificare poi che gli
2
4 2 2 2 2
altri tre termini sono i doppi prodotti: 16a 1 8a 8a 2b 4a 1 .
+ b + + b + + = + b +
Sezione 1.2. Scomposizione in fattori 15
4 2 2 2 2
Scomporre in fattori 2x 2x 2yz.
Esempio 1.34. x + y + z − y − z +
2 2
4 2 2 2 2 2 2
2x 2x 2yz
x + y + z − y − z + = x − y − z = −x + y + z
4 3 2
Scomporre in fattori 2x 3x 2x 1.
Esempio 1.35. x − + − +
In alcuni casi anche un polinomio di cinque termini può essere il quadrato di un trinomio.
2
Per far venire fuori il quadrato del trinomio si può scindere il termine 3x come somma:
2 2 2
3x 2x .
= x +
In questo modo si ha:
4 3 2 4 3 2 2 2 2
2x 3x 2x 1 2x 2x 2x 1 1)
x − + − + = x − + x + − + = (x − x +
Nel caso di un quadrato di un polinomio la regola è sostanzialmente la stessa:
2 2 2 2 2 2AB 2AC 2AD 2BC 2BD 2CD.
(A + B + C + D) = A + B + C + D + + + + + +
Cubo di un binomio
I cubi di binomi sono di solito facilmente riconoscibili. Un quadrinomio è lo sviluppo del
cubo di un binomio se due suoi termini sono i cubi di due monomi e gli altri due termini sono
i tripli prodotti tra uno dei due monomi ed il quadrato dell’altro, secondo le seguenti formule.
3 3 2 2 3 3 2 2 3 3
⇒
3A 3AB 3A 3AB .
(A + B) = A + B + + B A + B + + B = (A + B)
3 3 2 2 3 3 2 2 3 3
⇒
3A 3AB 3A 3AB .
(A − B) = A − B + − B A − B + − B = (A − B)
Per il cubo non si pone il problema, come per il quadrato, del segno della base, perché un
numero, elevato ad esponente dispari, se è positivo rimane positivo, se è negativo rimane
negativo. 2
3 2 3
Scomporre in fattori 8a 12a 6ab .
Esempio 1.36. + b + + b
Notiamo che il primo ed il quarto termine sono cubi, rispettivamente di 2a e di il
b,
secondo termine è il triplo prodotto tra il quadrato di 2a e mentre il terzo termine è il triplo
b,
prodotto tra 2a e il quadrato di Abbiamo dunque:
b.
3 2 2 3 3 2 2 3
· · · ·
8a 12a 6ab 3 3
+ b + + b = (2a) + (2a) (b) + (2a) (b) = (2a + b)
3 2
Scomporre in fattori 27x 9x 1.
Esempio 1.37. −27x + − +
Le basi del cubo sono il primo e il quarto termine, rispettivamente cubi di e di 1.
−3x
Dunque: 3 2 3 2 2 3
· · · ·
27x 9x 1 3 1 3 1 1 1)
−27x + − + = (−3x) + (−3x) + (−3x) + = (−3x +
1
13
6 4 2
Scomporre in fattori .
Esempio 1.38. x − x + x − 27 3
13 1
2 2
Le basi del cubo sono e i termini centrali sono i tripli prodotti, quindi .
x − x − 3
16 Capitolo 1. Divisibilità e scomposizione di polinomi
1.2.5 Altre tecniche di scomposizione
Trinomi particolari
Consideriamo il seguente prodotto:
2 2 2
·
3)(x 2) 2x 3x 3 2 3)x 6 5x 6.
(x + + = x + + + = x + (2 + + = x + +
2
Poniamoci ora l’obiettivo opposto: se abbiamo il polinomio 5x 6 come facciamo a
x + +
trovare ritrovare il prodotto che lo ha originato? Possiamo notare che il 5 deriva dalla somma
tra il 3 e il 2, mentre il 6 deriva dal prodotto tra 3 e 2. Generalizzando:
2 2
· ·
(x (x (a
+ a) + b) = x + ax + bx + ab = x + + b) x + a b
Leggendo la formula precedente da destra verso sinistra:
2 · ·
(a (x (x
x + + b) x + a b = + a) + b)
Possiamo allora concludere che se abbiamo un trinomio di secondo grado in una sola
lettera, a coefficienti interi, avente il termine di secondo grado con coefficiente 1, se riusciamo
a trovare due numeri e tali che la loro somma è uguale al coefficiente del termine di primo
a b
grado ed il loro prodotto è uguale al termine noto, allora il polinomio è scomponibile nel
prodotto (x + a)(x + b).
Osserva che il termine noto, poiché è dato dal prodotto dei numeri che cerchiamo, ci dice
se i due numeri sono concordi o discordi. Inoltre, se il numero non è particolarmente grande
è sempre possibile scrivere facilmente tutte le coppie di numeri che danno come prodotto il
numero cercato, tra tutte queste coppie dobbiamo poi individuare quella che ha per somma il
coefficiente del termine di primo grado.
2 7x 12
Esempio 1.39. x + +
I coefficienti sono positivi e quindi i due numeri da trovare sono entrambi positivi. Il
termine noto 12 può essere scritto sotto forma di prodotto di due numeri naturali solo come:
· · ·
12 1; 6 2; 3 4
Le loro somme sono rispettivamente 13, 8, 7. La coppia di numeri che dà per somma (S)
e prodotto (P) è pertanto e Dunque il trinomio si scompone come:
+7 +12 +3 +4.
2 ·
7x 12 4) 3) .
(x (x
x + + = + +
S P
2 8x 15.
Esempio 1.40. x − +
I segni dei coefficienti ci dicono che i due numeri, dovendo avere somma negativa e
prodotto positivo, sono entrambi negativi. Dobbiamo cercare due numeri negativi la cui
somma sia e il cui prodotto sia 15. Le coppie di numeri che danno 15 come prodotto sono
−8
-15 e Allora i due numeri cercati sono e Il trinomio si scompone come:
−1 −5 −3. −5 −3.
2 ·
8x 15 5) 3) .
(x (x
x − + = − −
Sezione 1.2. Scomposizione in fattori 17
S P
2 4x 5.
Esempio 1.41. x + −
I due numeri sono discordi, il maggiore in valore assoluto è quello positivo. C’è una sola
coppia di numeri che dà come prodotto, precisamente e Il polinomio si scompone:
−5 +5 −1.
2 ·
4x 5 5) 1) .
(x (x
x + − = + −
S P
2 3x 10.
Esempio 1.42. x − −
I due numeri sono discordi, in modulo il più grande è quello negativo. Le coppie di numeri
che danno come prodotto sono ma anche Quelli che danno come
−10 −10 +1, −5 +2. −3
somma sono e
−5 +2. 2 ·
3x 10 5) 2) .
(x (x
x − − = − +
In alcuni casi si può applicare questa regola anche quando il trinomio non è di
Esempio 1.43.
secondo grado, è necessario però che il termine di grado intermedio sia esattamente di grado
pari alla metà di quello di grado maggiore.
4 2 2 2
·
5x 6 3 2
á x + + = x + x +
6 3 3 3
·
12 4 3
á x + x − = x + x −
4 2 2 2
· · · ·
10a 9 9 1 3) 3) 1) 1)
á (a (a (a (a
a − + = a − a − = + − + −
4 2 4 2 2 2 2
· · ·
20 20 5 4 5 2) 2)
á (x (x
−x − x + = − x + x − = − x + x − = − x + + −
5 3 4 2 2 2
· · ·
2x 12x 14x 2x 6x 7 2x 7 1
