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Indice del quarto volume
Prefazione v
Prefazione alla seconda edizione vii
Prefazione all'edizione 2016 vii
Prefazione all'edizione 2017 vii
Prefazione all'edizione 2018 viii
1 Complementi di algebra 1
1.1 Equazioni di grado superiore al secondo 1
1.1.1 Equazioni che si possono risolvere tramite scomposizione 1
1.1.2 Equazioni monomie 1
1.1.3 Equazioni binomie 2
1.1.4 Equazioni trinomie particolari 3
1.2 Equazioni e disequazioni irrazionali 4
1.2.1 Equazioni irrazionali 4
1.2.2 Disequazioni irrazionali 6
1.3 Equazioni con valori assoluti 9
1.3.1 Definizione di valore assoluto 9
1.3.2 La funzione "valore assoluto" 10
1.3.3 Proprietà del valore assoluto 10
1.3.4 Equazioni con il valore assoluto 10
1.3.5 Disequazioni con i valori assoluti 12
1.4 Esercizi 15
1.4.1 Esercizi dei singoli paragrafi 15
2 Circonferenza 23
2.1 Circonferenza e cerchio: definizioni e prime proprietà 23
2.2 Posizioni relative fra rette e circonferenze 28
2.2.1 Posizioni reciproche di due circonferenze 30
2.3 Angoli nelle circonferenze 32
2.4 Proprietà dei segmenti di tangenza 36
2.5 Poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza 38
2.6 Proprietà dei quadrilateri inscritti e circoscritti 40
2.7 Poligoni regolari 41
2.8 Esercizi 43
2.8.1 Esercizi dei singoli paragrafi 43
2.8.2 Esercizi riepilogativi 44
3 La circonferenza nel piano cartesiano 47
3.1 Circonferenza con il centro nell'origine 47
3.2 Circonferenza traslata 48
3.3 Equazione di una circonferenza 50
3.4 Circonferenze e rette 52
3.5 Posizioni reciproche tra circonferenze 55
3.6 Esercizi 57
3.6.1 Esercizi dei singoli paragrafi 57
3.6.2 Esercizi di riepilogo 61
4 Ellisse 63
4.1 Coniche 63
4.1.1 Le sezioni coniche 64
4.2 L'ellisse 65
4.2.1 L'ellisse come luogo geometrico 65
4.2.2 Le caratteristiche dell'ellisse 67
4.2.3 L'ellisse con i fuochi appartenenti all'asse Y 69
4.2.4 Condizioni per determinare l'equazione dell'ellisse 69
4.3 Esercizi 71
4.3.1 Esercizi dei singoli paragrafi 71
5 Iperbole 73
5.1 L'iperbole 73
5.1.1 L'iperbole come luogo geometrico 73
5.1.2 Le caratteristiche dell'iperbole 74
5.1.3 L'iperbole con i fuochi sull'asse Y 75
5.1.4 Condizioni per determinare l'equazione dell'iperbole 76
5.1.5 L'iperbole equilatera e la funzione omografica 76
5.2 Esercizi 80
5.2.1 Esercizi dei singoli paragrafi 80
6 Complementi sulle coniche 83
6.1 Le posizioni di una retta rispetto ad una conica 83
6.2 Rette tangenti ad una conica 84
6.2.1 Tangenti per un punto esterno ad una conica 84
6.2.2 Tangente per un punto appartenente alla conica 86
6.3 Curve deducibili dalle equazioni delle coniche 87
6.4 Esercizi 89
6.4.1 Esercizi dei singoli paragrafi 89
7 Esponenziali e logaritmi 91
7.1 Un problema 91
7.2 Esponenziali 92
7.2.1 La successione delle potenze di 2 92
7.2.2 Le potenze di 2 con esponente reale 93
7.2.3 Le funzioni esponenziali 94
7.2.4 Equazioni esponenziali 96
7.2.5 Le disequazioni esponenziali 98
7.3 Logaritmi 100
7.3.1 Le operazioni inverse e la potenza 100
7.3.2 Le equazioni logaritmiche 103
7.3.3 Le disequazioni logaritmiche 105
7.4 Esercizi 107
7.4.1 Esercizi dei singoli paragrafi 107
8 Statistica descrittiva bivariata 113
8.1 Indagine statistica 113
8.2 Fasi di un'indagine statistica 114
8.2.1 Spoglio delle schede e tabulazione 115
8.2.2 Rappresentazione grafica 116
8.3 Indici di posizione 120
8.3.1 Moda 121
8.3.2 Media aritmetica 121
8.3.3 Mediana 123
8.4 Indici di variabilità 123
8.4.1 Scarto medio assoluto 124
8.4.2 Varianza e scarto quadratico medio 124
8.4.3 Coefficiente di variazione 125
8.5 Tabelle a doppia entrata 126
8.6 Indipendenza e connessione 129
8.6.1 L'indipendenza statistica 129
8.6.2 Il Chi quadro 129
8.6.3 Il Chi quadro normalizzato 130
8.7 Correlazione 131
8.7.1 La correlazione tra due variabili quantitative 131
8.7.2 Il concetto di covarianza 131
8.7.3 Coefficiente di correlazione lineare 132
8.7.4 La retta di regressione 133
8.8 Schema riassuntivo: formule della statistica 135
8.9 Esercizi 136
8.9.1 Esercizi dei singoli paragrafi 136
9 Calcolo combinatorio 147
9.1 Il calcolo combinatorio 147
9.2 Permutazioni 149
9.3 Permutazioni con ripetizione 149
9.4 Disposizioni 150
9.5 Disposizioni con ripetizione 150
9.6 Combinazioni 151
9.7 Combinazioni con ripetizione 152
9.8 Esercizi 153
9.8.1 Esercizi dei singoli paragrafi 153
10 Probabilità 155
10.1 Eventi aleatori, certi e impossibili 155
10.2 La probabilità di un evento 156
10.3 Probabilità dell'unione di due eventi 158
10.3.1 Unione di due eventi incompatibili 159
10.3.2 Unione di due eventi tra loro compatibili 159
10.4 La probabilità dell'evento intersezione di due eventi 160
10.4.1 Intersezione di due eventi tra loro indipendenti 161
10.4.2 Intersezione di due eventi tra loro dipendenti 164
10.4.3 Interpretazione insiemistica della probabilità condizionata 165
10.5 Teorema di disintegrazione e formula di Bayes 166
10.5.1 Teorema di disintegrazione 166
10.5.2 Formula di Bayes 167
10.6 Prove ripetute 168
10.7 Probabilità e statistica 170
10.8 Esercizi 171
10.8.1 Esercizi dei singoli paragrafi 171
10.8.2 Esercizi riepilogativi 175
11 Matematica finanziaria 179
11.1 Interesse semplice 180
11.2 Interesse composto 181
11.3 Capitalizzazione composta continua 182
11.3.1 Tassi equivalenti 182
11.4 Rendite 182
11.4.1 Valore attuale delle rendite 183
11.4.2 Montante delle rendite 184
11.5 Esercizi 185
11.5.1 Esercizi dei singoli paragrafi 185
12 Geometria cartesiana dello spazio 187
12.1 Punti e vettori 187
12.2 Operazioni con i vettori 188
12.3 Retta (forma parametrica) 188
12.4 Piano (forma parametrica) 189
12.5 Piano (forma cartesiana) 190
12.6 Retta (forma cartesiana) 190
12.7 Da forma cartesiana a implicita (e viceversa) 191
12.8 Posizioni reciproche tra rette e piani 191
12.9 Distanza punto-piano 192
12.12.1 Esercizi dei singoli paragrafi 195
8 Capitolo 1. Complementi di algebra
√ 2
riducendo in forma normale: 4 4
6
x − x +
2
4 0
>
x −
4 0
equivalente al sistema razionale: >
x +
2 2
4 8x 16
6
x − x + +
∨
2
6 >
4 0 x −2 x +2
>
x − ⇒ >
4 0 x −4
che si riduce a: >
x +
5
20 0
6
−8x − >
x − 2
5 ∨
che dà come soluzioni: 2
6 6 >
− x −2 x
2
p
Secondo caso: >
A(x) B(x)
Abbiamo le seguenti due possibilità:
Se 0 per verificare la disequazione basta che la radice esista, perché essendo
1. B(x) <
positiva sarà senz’altro maggiore di un numero negativo.
Se invece 0 allora il radicando deve essere maggiore o uguale al suo quadrato e,
2. >
B(x)
in questo caso, verifica anche la condizione di esistenza della radice.
Tradotte in simboli, queste osservazioni producono i seguenti due sistemi di disequazioni
razionali: 0
>
B(x)
0
B(x) < ∨
p
n ⇔
>
A(x) B(x) 2
0
>
A(x) [B(x)]
>
A(x)
√ 2
4x 3x 1 2x
Esempio 1.19. + − − > −3 √ 2
riducendo in forma normale: 4x 3x 1 2x 3
+ − > −
2x 3 0 2x 3 0
>
− < −
∨
equivalente all’unione dei sistemi razionali: 2 2 2
4x 3x 1 0 4x 3x 1 4x 12x 9
>
+ − + − > − +
2x 3 0 2x 3 0
− < >
−
∨
che si riduce a: 2 15x 10 0
4x 3x 1 0 − >
>
+ −
1 3
∨
la soluzione del primo sistema è: 6 6
x −1 x<
4 2
3
la soluzione del secondo sistema è: >
x 2 1
∨
La soluzione della disequazione è data dall’unione delle soluzioni,cioé: 6 >
x −1 x − 4
1.3 Equazioni con valori assoluti
Per risolvere un’equazione nella quale compare il valore assoluto di qualche termine ,
dobbiamo aver chiaro cosa significa valore assoluto di un numero reale.
Sezione 1.3. Equazioni con valori assoluti 9
1.3.1 Definizione di valore assoluto |x|,
Si definisce valore assoluto (o modulo) di un numero e si indica con una funzione
x,
che associa a un numero reale non negativo. Infatti se è un numero reale, il suo valore
x x
assoluto è stesso se è non negativo, è se è negativo.
x x −x x
In simboli: se 0
>
x x
|x| = se 0
−x x < |x|,
se riportiamo il numero sulla retta dei numeri reali, il valore assoluto di non è altro
x x,
che la distanza del punto che rappresenta dall’origine 0.
x,
F 1.1: Retta
IGURA il valore assoluto di un numero reale è sempre non
È logico che, per come l’abbiamo definito,
negativo.
Esempi:
|
a. 2| 2
− = −(−2) =
|
b. 4|
+ = +4
√ √ √
|
b. 2 3| 3) 2 3
− + = −(−2 + = −
Nel caso in cui al posto di ci fosse una espressione algebrica si definisce il valore
x P(x)
assoluto di nel seguente modo:
P(x), se 0
>
P(x) P(x)
|P(x)| = se 0
−P(x) P(x) <
Vediamo subito alcuni esempi:
2 se 2 0 2 se 2
> >
x − x − x − x
|x |x
1. 2| ossia: 2|
− = − =
2) se 2 0 2 se 2
−(x − x − < −x + x <
2 2
3x 2 se 3x 2 0
>
x − + x − +
|x
2
2. 3x 2| che si può risolvere e scrivere:
− + = 2 2
3x 2) se 3x 2 0
−(x − + x − + <
∨
2 3x 2 se 1 2
6 >
x − + x x
|x
2 3x 2|
− + = 2 3x 2 se 1 2
−x + − <x<
1.3.2 La funzione “valore assoluto”
|x| funzione valore assoluto
La funzione si chiama ed ha il grafico di Figura 1.2. Si tratta
y =
di una funzione pari, ovvero simmetrica rispetto all’asse delle In pratica non è altro che la
y.
retta bisettrice del primo e terzo quadrante, a cui viene applicata la trasformazione (|x|)
y = f
10 Capitolo 1. Complementi di algebra
|x|
F 1.2: Grafico della funzione y =
IGURA
1.3.3 Proprietà del valore assoluto
Il valore assoluto gode delle seguenti proprietà:
|x |x| |y| R
∀x, ∈ triangolare)
(disuguaglianza
á 6
+ y| + y
|x |x| |y| R
· · ∀x, ∈
á y| = y
|x| R, R
x ∀x ∈ ∀y ∈
á = 0
|y|
y
|x| |y| R
←→ ±y ∀x, ∈
á = x = y
|x| | R
∀x ∈
á = − x|,
|x| R
2 2 ∀x ∈
,
á = x
√ |x|, R
2 ∀x ∈
á x =
1.3.4 Equazioni con il valore assoluto
Come facciamo a risolvere equazioni nelle quali l’incognita compare all’interno di qualche
valore assoluto? Vediamo alcuni esempi: |P(x)| R)
∈
L’equazione si presenta nella forma:
1° caso = k (k
|x 5|
Esempio 1.20. − = −2
L’equazione non ha soluzione perché il valore assoluto di un polinomio è sempre non negativo.
|x 5| 0
Esempio 1.21. − =
In questo caso possiamo risolvere l’equazione ricordando che il valore assoluto di un numero
è zero se e solo se lo è il numero stesso, quindi 5.
x =
Sezione 1.3. Equazioni con valori assoluti 11
|x 5| 2
Esempio 1.22. − =
Possiamo risolvere l’equazione ricordando che il valore assoluto di un numero è uguale ad
|P(x)| ±k
un numero positivo, 0, se e solo se (proprietà 4 del valore assoluto)
= k > P(x) =
l’equazione è equivalente a: ±2
5
x − =
che corrisponde a scrivere: ∨
5 2 5
x − = x − = −2
che ha come soluzioni: ∨
7 3
x = x =
|P(x)|
data un’equazione del tipo si ha che:
In generale: = k
se 0 l’equazione non ha alcuna soluzione reale
á k <
se 0 l’equazione è equivalente a 0
á k = P(x) = ∨
se 0 l’equazione è equivalente a
á k > P(x) = k P(x) = −k
|2x
2 5x| 0,
Esempio 1.23. + = ∨ 5
2
L’equazione è equivalente a: 2x 5x 0 che ha come soluzioni: 0
+ = x = x = − 2
|2x
2 5x|
Esempio 1.24. + = −3 impossibile
Siamo nel caso 0 quindi l’equazione è
k <
|2x
2 5x| 3
Esempio 1.25. + = ∨
2 2
L’equazione è equivalente a: 2x 5x 3 2x 5x
+ = + = −3
∨ ∨
32
1 mentre la seconda:
La prima ha soluzioni: x = −3 x = − x = −1
x = 2 12 32
Pertanto l’insieme delle soluzioni dell’equazione di partenza è: , ,
S = − −1, −3
|A(x)| |B(x)|
: L’equazione si presenta nella forma:
2° caso: =
Ricordando la proprietà 4 dei valori assoluti tale equazione è equivalente a:
∨
A(x) = B(x) A(x) = −B(x)
|3x |x
1| 1|, l’equazione è equivalente a
Esempio 1.26. + = − ∨
3x 1 1 3x 1 1
+ = x − + = −x +
la prima ha soluzione: x = −1
la seconda ha soluzione: 0
x = {−1,
Pertanto l’insieme delle soluzioni dell’equazione di partenza è: 0}
S = |2x
E se dovessimo risolvere un’equazione di questo tipo? 3| 1|
Esempio 1.27. − = −|x +
Niente paura, è chiaro che l’equazione è impossibile perché . . .
12 Capitolo 1. Complementi di algebra
|A(x)|
L’equazione si presenta nella forma:
3° caso: = B(x)
Cosa dobbiamo fare in questo caso? Dobbiamo semplicemente “sciogliere”il valore assoluto!
|A(x)|
Se ricordiamo la definizione di capiamo subito che l’insieme delle soluzioni di questa
equazione è l’unione degli insiemi delle soluzioni dei seguenti sistemi misti:
A(x) = B(x) −A(x) = B(x)
∨
0 0
>
A(x) A(x) <
Facciamo subito un esempio per capire meglio:
|2x 1| 3
Esempio 1.28. − = x + 2x 1 3 1) 3
− = x + −(2x − = x +
∨
L’equazione è equivalente a: 2x 1 0 2x 1 0
>
− − <
2
Il primo sistema ha soluzione 4 e il secondo
x = x = − 3 23
L’insieme delle soluzioni dell’equazione di partenza è pertanto: 4, .
S = −
1.3.5 Disequazioni con i valori assoluti
Vogliamo risolvere alcune semplici disequazioni con valori assoluti, riconducibili ai casi:
|P(x)| |P(x)| |P(x)| |P(x)|
; ; ;
> 6
> k < k k k
|P(x)| |P(x)|
La disequazione si presenta nella forma: o con 0
1° caso: 6 > 6
k k k
|P(x)|
La soluzione della disequazione con 0 è molto semplice se si ricorda che il
6 6
k k
valore assoluto di una espressione algebrica è sempre non negativo e quindi non potrà mai
essere minore di un numero negativo. Quindi, ad esempio:
|2x 1|
Esempio 1.29. 6
− −3
La disequazione è impossibile: un numero non negativo non può essere minore di uno
negativo. |3x 2| 0
Esempio 1.30. 6
−
In questo caso poiché il valore assoluto di un numero non è mai negativo, la disequazione è
|3x 23
verificata se e solo se 2| 0, cioè .
− = x =
|P(x)| R.
∀x ∈
La disequazione con 0, sarà invece verificata
> 6
k k
|x
2 1|
Esempio 1.31. >
− −3 R:
∀x ∈
La disequazione è verificata un numero non negativo è sempre maggiore di uno
negativo. |P(x)|
La disequazione si presenta nella forma: con 0
2° caso: 6 k k >
|x 1| 2, ricordando che il valore assoluto di non è altro che la distanza del
Esempio 1.32. 6
− x
punto che rappresenta dall’origine 0 della retta dei numeri reali, allora il valore assoluto di
x
un numero è 2 quando quel numero è compreso fra -2 e +2.
6
Nella figura sono evidenziati tutti i numeri reali la cui distanza dall’origine è 2.
6
Sezione 1.3. Equazioni con valori assoluti 13
La disequazione precedente è equivalente alla:
1 2
6 6
−2 x −
questa doppia disequazione può essere risolta:
a) tramite un sistema: 1 2
6
x − 1 >
x − −2
le cui soluzioni sono: 3
6 6
−1 x
b) semplicemente sommando +1 a ciascun anello della catena:
1 1 1 2 1
6 6
−2 + x − + +
e quindi: 3.
6 6
−1 x |P(x)|
La disequazione si presenta nella forma: con 0
3° caso: > k k >
|x 1| 2
Esempio 1.33. >
− |x|,
Ricordando che il valore assoluto di non è altro che la distanza del punto che rappresenta
x,
dall’origine 0 della retta dei numeri reali, allora il valore assoluto di un numero è 2 quando
>
x
quel numero è oppure 2.
6 >
−2
Nella figura sono evidenziati tutti i numeri reali la cui distanza dall’origine è 2. La
>
∨
disequazione precedente è equivalente a: 1 1 2
6 >
x − −2 x −
∨
e quindi la soluzione è: 3.
6 >
x −1 x |A(x)| |A(x)|
La disequazione si presenta nella forma: o
4° caso: > 6
B(x) B(x)
Prendiamo il primo caso come riferimento, anche se la stessa trattazione vale in modo simile
anche nel secondo. In questo caso è sufficiente “sciogliere” il valore assoluto, come nel caso
|A(x)|,
delle equazioni viste in precedenza. Utilizzando ancora una volta la definizione di
14 Capitolo 1. Complementi di algebra
si può tradurre la disequazione nell’unione degli insiemi delle soluzioni dei due sistemi
seguenti: > >
A(x) B(x) −A(x) B(x)
∨
0 0
>
A(x) A(x) <
|2x 4| 2
Esempio 1.34. >
− x + 2x 4 2 4) 2
(2x
> >
− x + − − x +
∨
La disequazione è equivalente a: 2x 4 0 2x 4 0
>
− − <
2
6
>
x 6
x
∨
Semplificando i due sistemi si ottiene: 3
2
>
x 2
x<
2
le cui soluzioni sono, rispettivamente, 6 e . La soluzione finale della disequazione
> 6
x x 3 2 ∨
di partenza è quindi l’unione delle due soluzioni, ovvero: 6.
6 >
x x
3
|x
2 2
5x 4| 1
Esempio 1.35. 6
− + x − 2 2 2 2
5x 4 1 5x 4 1
6 6
x − + x − − x − + x −
∨
La disequazione è equivalente a: 2 2
5x 4 0 5x 4 0
>
x − + x − + <
3
∨
1
6 >
x x
1
>
x ∨ 2
Semplificando i due sistemi si ottiene: ∨
1 4
6 >
x x 1 4
<x<
3
La soluzione del primo sistema è 4, mentre quella del secondo è 4. La soluzione
> 6
x x <
2 3
finale della disequazione di partenza, unione delle due soluzioni trovate, è >
x 2
Sezione 1.4. Esercizi 15
1.4 Esercizi
1.4.1 Esercizi dei singoli paragrafi
1.1 Equazioni di grado superiore al secondo
Risolvi le seguenti equazioni:
1.1. R]
8 4 ∃x ∈
a ) 9 108 360 0 [6
x − x + = √
√ ∨ 4
4
8 4 10) 10)]
b ) 9 72 144 324 [(x (x =
x − x + = = −
√ √
3 3
6 ∨
3 3
2 25
c ) 2) [(x
(5
−9 = −64 x − = + ) (x = − + )]
10 5 10
6 R]
∃x ∈
d ) 729 1) 2 0 [6
(x + + = 2
3 5
5 ]
e ) 243 [x
x = −9 = − 3
2
5 3 79
5
f) 0 7) 9 [x ]
(9
= x − − = +
√ √
9
∨
5 5
10 5
g) 6 96 234 0 [(x 3) 13)]
x − x + = = (x = R]
8 4 ∃x ∈
h) 392 112 72 [6
−8 x − = x − R]
10 5 ∃x ∈
i) 78 6 [6
= −3 x + x R]
4 8 ∃x ∈
j) 175 448 [6
−70 x + = −7 x − 2
7 3 95
7
k) 9) [x ]
(5
− x − = −9 = +
√ √
5
∨ ∨ ∨
2 3 2
l) 10 70 [(x 0) 10) 7) 7)]
−7 x = −x x − x + = (x = (x = (x = − R]
10 5 ∃x ∈
m) 32 160 [6
−8 x − x = √
5
10 5
n) 140 700 0 [x 10]
−7 x + x − = = R]
4 8 ∃x ∈
o) 679 7 [6
−56 x − = x ∨
4 3 2
p) 13 13 40 [(x 5) 8)]
x − x − x + = −41 x = (x = 3
2 5
5
q) 1024 8 0 [x ]
x − = =
√ √ 4
∨
5 5
5 10
r) 16 36 64 [(x 2) 14)]
x + = x + = (x =
∨
3 3 2
s) 6 9 8 [(x
x x + = −6 x − x − = −4) (x = −2)]
∨
4 2
t) 72 120 2 13) [(x 2) 10)]
(6
x − x + = x x − = (x =
√ √
∨
4 4
8 4
u) 0 24 462 [(x 7) 7)]
= −6 x − x + = − (x =
√ √
6 ∨
3 3
v) 9) 4 0 [(x 2 9) 2 9)]
(x + − = = − (x = − − R]
3 6 ∃x ∈
w) 128 800 [6
x + = −8 x 3 3
∨
8
x) 5 40 0 [(x 2
x − = = −2 ) (x = )]
8 8
√
5
10 5
y) 0 2 8 8 [x 2]
= x − x + =
√ √
∨
4 4
4 8
z) 108 9 324 [(x 6) 6)]
x = x + = − (x =
Risolvi le seguenti equazioni:
1.2. 5
(x+15) 5 30
5) [x ]
a) (4
= x − =
− 59049 37
√ √
5 5
10 5 ∨
54810000 134190000
175 3 7 343
x x
b) [(x
− = − − − = ) (x = − )]
27 7 5 300 30 30
10 5 R]
3 65
x x ∃x ∈
c) [6
= − −
5 4 64 √
3
6 980
5 7 x
3
d) [x ]
x − = =
28 5 14
√ √
5 5
10 5 ∨
14406 19208
1 1
x x
e) [(x
− = − − − = ) (x = − )]
2 2 7 98 7 7
5 5
1024
(25 (6
x−21) x+1) 77
f) [x ]
− = = −
52521875 243 915
√ √ √ √
3 3
