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Indice del quinto volume
Prefazione v
Prefazione alla seconda edizione vii
Prefazione all'edizione 2016 vii
Prefazione all'edizione 2017 vii
Prefazione all'edizione 2018 viii
1 Iperreali 1
1.1 Alcune questioni importanti sui numeri in R 1
1.2 I numeri iperreali fiR 2
1.2.1 Il problema della velocità 2
1.2.2 Infinitesimi..e infiniti 2
1.2.3 Tipi di Iperreali 3
1.2.4 Numeri infinitamente vicini 4
1.2.5 Iperreali finiti e parte standard 5
1.2.6 Retta Iperreale e strumenti ottici 6
1.2.7 Operazioni 9
1.2.8 Confronto 11
1.2.9 Indistinguibili 15
1.2.10 Principio di tranfer 17
1.3 Applicazioni 17
1.3.1 Problemi con gli Iperreali 17
1.3.2 Espressioni con gli Iperreali 18
1.4 Esercizi 22
1.4.1 Esercizi dei singoli paragrafi 22
2 Topologia della retta 31
2.1 La topologia della retta 31
2.2 Gli intervalli 31
2.3 Gli intorni 32
2.4 Insiemi limitati e illimitati 34
2.5 Massimi, minimi ed estremi 36
2.6 I punti di accumulazione 38
2.7 Esercizi 40
2.7.1 Esercizi dei singoli paragrafi 40
3 Introduzione alle funzioni 43
3.1 Cos'è una funzione 43
3.1.1 Argomenti di una funzione 43
3.2 Costruiamo funzioni 44
3.3 Argomenti, Dominio e Insieme di Definizione 47
3.4 Risultato, Codominio e Insieme Immagine 48
3.4.1 Altre convenzioni 48
3.5 Rappresentazione di una generica funzione 49
3.5.1 Diagrammi 49
3.5.2 Notazioni matematiche 49
3.6 Funzioni reali 50
3.6.1 Tabella di alcuni valori di una funzione 51
3.6.2 Scrittura matematica 52
3.6.3 Visualizzazione su due assi 52
3.7 Rappresentazione cartesiana 53
3.7.1 Grafico di una funzione 54
3.7.2 Disegnare grafici con Python 55
3.8 Esercizi 56
3.8.1 Esercizi dei singoli paragrafi 56
4 Funzioni 59
4.1 Definizione di funzione 59
4.2 La rappresentazione di una funzione 62
4.3 Le proprietà di una funzione 62
4.4 Le caratteristiche di una funzione 64
4.4.1 Monotonia 64
4.4.2 Parità 65
4.4.3 Periodicità 67
4.4.4 Limitatezza 69
4.5 La classificazione delle funzioni 70
4.6 Funzioni inverse, composte e uguali 70
4.7 Esercizi 76
4.7.1 Esercizi dei singoli paragrafi 76
5 Funzioni: limiti e continuità 81
5.1 Limiti 81
5.2 Continuità 86
5.2.1 Definizione di continuità in un punto 86
5.2.2 Definizione di continuità in un intervallo 87
5.3 Esercizi 91
5.3.1 Esercizi dei singoli paragrafi 91
6 Derivate 93
6.1 Introduzione 93
6.2 Velocità di caduta 93
6.3 Continuità 94
6.4 Differenziale 95
6.4.1 Differenziale della variabile x 97
6.4.2 Differenziale di alcune funzioni 98
6.4.3 Combinare differenziali 105
6.4.4 Problemi con i differenziali 108
6.5 Introduzione alla derivata 109
6.5.1 Pendenza di una retta 109
6.6 Derivata: definizione 113
6.7 Derivare funzioni algebriche 119
6.8 Regole di derivazione 122
6.9 Derivare funzioni composte e funzioni inverse 124
6.9.1 Funzioni composte 124
6.9.2 Funzioni inverse 126
6.10 Derivare funzioni trascendenti 129
6.10.1 Derivata di f(x) = ax 129
6.10.2 Derivata di f(x) = loga x 130
6.10.3 Derivata di funzioni circolari 132
6.11 Applicazioni 135
6.11.1 Derivata e tangente 135
6.11.2 Derivata e normale 136
6.11.3 Derivata della derivata 137
6.11.4 Derivata, differenza e differenziale 138
6.11.5 Sintesi 140
6.11.6 Applicazioni non solo matematiche 140
6.12 Esercizi 143
6.12.1 Esercizi dei singoli paragrafi 143
6.12.2 Esercizi sulle derivate 144
6.12.3 Problemi che coivolgono l'uso della derivata 150
7 Teoremi sulle funzioni continue 153
7.1 Continuità 153
7.1.1 Continuità e derivabilità 153
7.2 Massimi e minimi 153
7.2.1 Numeri iperinteri 155
7.2.2 Alcuni teoremi delle funzioni continue 156
8 Studio di funzioni 161
8.1 Descrizione del grafico 161
8.1.1 Descrizione a parole 162
8.2 Analisi della funzione 163
8.2.1 Le prime caratteristiche 163
8.3 Comportamento asintotico 165
8.3.1 Comportamento agli estremi del campo di esistenza 165
8.3.2 Asintoti 165
8.3.3 Asintoti obliqui 165
8.4 Andamento 166
8.4.1 Punti stazionari 166
8.4.2 Intervalli di monotonia 166
8.5 Concavità 167
8.6 Altre caratteristiche 168
8.7 Esercizi 169
9 Integrali 171
9.1 Un problema di area 171
9.2 L'area sottesa ad una funzione 173
9.3 Definizione 174
9.4 Somme di Riemann inferiore e superiore 175
9.5 Proprietà degli integrali 177
9.5.1 Proprietà rettangolare 177
9.5.2 Altre proprietà 177
9.5.3 Definizione di opposto 177
9.5.4 Proprietà additiva 178
9.6 Funzione integrale 178
9.7 Teorema fondamentale dell'analisi 181
9.7.1 Dimostrazione grafica 181
9.7.2 Dimostrazione algebrica 181
9.8 Integrali indefiniti 182
9.9 Calcolo dell'integrale definito 182
9.10 Esercizi 184
9.10.1 Esercizi dei singoli paragrafi 184
9.10.2 Esercizi riepilogativi 185
10 Variabili aleatorie 187
10.1 Variabili aleatorie discrete 188
10.1.1 Valori sintetici delle distribuzioni 190
10.1.2 Proprietà dei valori sintetici 190
10.2 Variabili aleatorie standardizzate 192
10.3 Distribuzioni discrete di uso comune 192
10.3.1 Distribuzione uniforme 192
10.3.2 Distribuzione binomiale 193
10.3.3 Distribuzione di Poisson 195
10.4 Variabili aleatorie continue 197
10.4.1 Valori sintetici delle distribuzioni continue 198
10.5 Distribuzioni continue di uso comune 199
10.5.1 Distribuzione uniforme 199
10.5.2 Distribuzione esponenziale 200
10.5.3 Distribuzione normale 201
10.6 Esercizi 203
10.6.1 Esercizi dei singoli paragrafi 203
Sezione 1.2. La rappresentazione di una funzione 5
Funzioni goniometriche
inverse
arcsin arccos 1]
y = x, y = x D = [−1,
R
arctan arccot
y = x, y = x D =
Funzioni goniometriche
composte
sin[f(x)], cos[f(x)] di
y = y = D f(x) tan[2x 1]
y = −
R|f(x) π π
∈ 6 6
tan[f(x)] 2x 1
y = D = x = + − = + kπ
2 2
π+1+kπ
+ kπ 6
D = x = 2
{x R|f(x)
cot[f(x)]
y = ∈ 6
D = = kπ} arcsin[x 1]
y = −
{x R|
arcsin[f(x)],
y = ∈ 1 6 6
D = − f(x) 1 1
6 6
−1 x −
arccos[f(x)]
y = 1}
6 0 2
6 6
x x+2
arctan[f(x)]
y = di
D f(x) arctan[ ]
y = x+3
R {−3}
D = −
1.2 La rappresentazione di una funzione
Una funzione può essere rappresentata in diversi modi, i principali sono:
R
á APPRESENTAZIONE TABULARE
Le funzioni empiriche vengono ricostruite con una tabella in cui ad ogni corrisponde
y
un certo Ad esempio pensiamo ad una tabella che dà la temperatura ora per ora in un
x.
certo luogo.
R
á APPRESENTAZIONE ANALITICA
La funzione è espressa mediante un insieme di operazioni matematiche che applicate
in un certo ordine ad restituiscono un corrispondente valore di Esempi ne sono
x y.
3 x
log 2), 2x 3 o sin 2 , cioè le espressioni, scritte in linguaggio
y = (x + y = + y = x +
matematico, che siamo abituati a trattare.
R
á APPRESENTAZIONE GRAFICA
La funzione è rappresentata come una corrispondenza su un grafico cartesiano;
x−y →
in particolare, ricordiamo che: il grafico di una funzione è l’insieme di tutte
f : A B
le coppie ordinate che si ottengono prendendo un valore in e trovando il
(x; y) x A
corrispondente valore in Ogni coppia ordinata rappresenta un punto nel
y = f(x) B.
R 2
piano cartesiano .
1.3 Le proprietà di una funzione
Una funzione, a seconda, del modo in cui gli elementi del dominio corrispondono agli
elementi del codominio si può definire , e (o ).
INIETTIVA SURIETTIVA BIIETTIVA BIUNIVOCA
6 Capitolo 1. Funzioni
Una funzione da a si dice se ogni elemento di è immagine
Definizione 1.2. A B B
INIETTIVA
di al più un elemento di A;
→ ∀x ∈ 6 ⇒ 6
è iniettiva se ,
f : A B x A, x = x f(x ) = f(x )
1 2 1 2 1 2
Una funzione da a si dice quando ogni elemento di è
Definizione 1.3. A B B
SURIETTIVA
immagine di almeno un elemento di A; |
→ ∀y ∈ ∃x ∈
è suriettiva se
f : A B B, A f(x) = y
Il fatto che una funzione sia o non sia suriettiva dipende da come si sceglie l’insieme di
arrivo. Se lo si sceglie coincidente con il codominio la funzione è suriettiva.
Una funzione da a è (o ) quando è sia iniettiva
Definizione 1.4. A B BIIETTIVA BIUNIVOCA
sia suriettiva.
Quando una funzione è biettiva?
Esempio 1.4.
Una funzione biiettiva è ad esempio una qualsiasi retta. Una retta è infatti sia iniettiva, che
R R.
biettiva di dominio e codominio
Sezione 1.4. Le caratteristiche di una funzione 7
Una funzione biiettiva viene anche detta biiezione o corrispondenza biunivoca fra gli
insieme e Tale relazione tra insiemi è molto forte e specifica in quanto ad ogni elemento
A B.
di viene associato un solo elemento di e, reciprocamente, ad ogni elemento di è associato
A B B
un solo elemento di in una relazione uno a uno. Per tale ragione, la relazione tra i due
A, ↔
insiemi viene indicata con una doppia freccia A B.
1.4 Le caratteristiche di una funzione
Analizziamo ora le caratteristiche che può manifestare una funzione, qualità che può
presentare il suo andamento e che possono contraddistinguerne la forma del grafico.
1.4.1 Monotonia
La caratteristica della monotonia vuole evidenziare l’andamento o -
CRESCENTE DECRE
di una funzione; la monotonia studia il comportamento della variabile dipendente y
SCENTE
all’aumentare della variabile indipendente All’aumentare dell’ascissa se aumenta anche
x.
l’ordinata diremo che la funzione cresce, se l’ordinata diminuisce diremo che la funzione
decresce. Vediamo e puntualizziamo meglio.
Una funzione di dominio si dice
Definizione 1.5. y = f(x) D, CRESCENTE IN SENSO
in un intervallo sottoinsieme di se
I, D,
STRETTO
∀x ∈
, con si ha
x I x < x f(x ) < f(x )
1 2 1 2 1 2
Una funzione è non decrescente o in senso lato in un
Definizione 1.6. CRESCENTE
intervallo sottoinsieme di se
I, D,
∀x ∈
, con si ha 6
x I x < x f(x ) f(x )
1 2 1 2 1 2
8 Capitolo 1. Funzioni
Una funzione di dominio si dice
Definizione 1.7. y = f(x) D, DECRESCENTE IN SENSO
, in un intervallo sottoinsieme di se
I, D,
STRETTO
∀x ∈
, con si ha
x I x < x f(x ) > f(x )
1 2 1 2 1 2
Una funzione è non crescente o in senso lato in un
Definizione 1.8. DECRESCENTE
intervallo sottoinsieme di se
I, D,
∀x ∈
, con si ha >
x I x < x f(x ) f(x )
1 2 1 2 1 2
Una funzione, quindi, si dice monotòna in un intervallo del suo dominio se in è sempre
I I
crescente o decrescente.
Individuiamo gli intervalli in cui la funzione rappresentata risulta crescente o
Esempio 1.5.
decrescente.
Negli intervalli finiti , la funzione risulta essere crescente; negli
x < x < x x < x < x
1 2 3 4
intervalli finiti , .
x < x < x x < x < x
2 3 4 5
Sezione 1.4. Le caratteristiche di una funzione 9
1.4.2 Parità
La caratteristica della parità va a verificare se il grafico della funzione che stiamo studiando
è simmetrico rispetto all’asse delle cioè il grafico è speculare rispetto all’asse, o se il grafico
Y,
della funzione è simmetrico rispetto all’origine. Nel primo caso parleremo di della
PARITÀ
funzione, nel secondo caso parleremo di della funzione.
DISPARITÀ
Ovviamente non tutte le funzioni presenteranno questa simmetria, possiamo però indivi-
duare delle condizioni che, se presenti nella funzione, ci assicurano che questa è pari o dispari.
∈
Sia data una funzione avente dominio tale che per ogni
Definizione 1.9. y = f(x), D x D
∈
anche Una funzione si dice in se
−x D. D
PARI
f(−x) = f(x)
∈
per ogni x D.
Se una funzione è pari, il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse Infatti se
Y. P(x; y)
0
appartiene al grafico anche vi appartiene. Sottolineiamo ancora che la condizione di
P (−x; y)
parità per una funzione è f(−x) = f(x).
10 Capitolo 1. Funzioni
Verificare se una funzione è o non è pari.
Esempio 1.6.
Per verificare se una funzione è pari basta sostituire nella funzione al posto di e verificare
−x x
se la nuova è uguale alla funzione di partenza, cioè se Se prendiamo la
f(−x) f(−x) = f(x).
funzione 2 3
x +
f(x) = 2
x +
è pari, infatti
non 2
2 3
3 x +
(−x) + 6
= = f(x).
f(−x) = 2 2
(−x) + −x +
Sia data una funzione avente dominio tale che per ogni
Definizione 1.10. y = f(x), D
∈ ∈
anche−x Una funzione si dice in se
x D D. D
DISPARI
f(−x) = −f(x)
∈
per ogni x D.
Se una funzione è dispari, il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine. Infatti se P(x; y)
0
appartiene al grafico anche vi appartiene. Sottolineiamo ancora che la condizione
P (−x; −y)
di disparità per una funzione è f(−x) = −f(x).
Verificare se una funzione è o non è dispari.
Esempio 1.7.
Per verificare se una funzione è dispari basta sostituire nella funzione al posto di e
−x x
verificare se la nuova è uguale alla funzione di partenza cambiata di segno, cioè se
f(−x)
Se prendiamo la funzione
f(−x) = −f(x). x
f(x) = 2 2
x +
è dispari, infatti (−x) −x x
f(−x) = = =− = −f(x).
2 2 2
2 2 2
(−x) + x + x +
Sezione 1.4. Le caratteristiche di una funzione 11
1.4.3 Periodicità
La periodicità di una funzione specifica se questa si ripete uguale a sé stessa ad intervalli
regolari. R
→
Una funzione si dice di periodo 0
Definizione 1.11. y = f(x), f(x) : A T >
PERIODICA
∈ → ∈
di periodo 0 se∀x possiamo scrivere
T > A (x + T ) Ae
f(x + T ) = f(x)
Calcolare il periodo di una funzione.
Esempio 1.8.
Calcoliamo il periodo della funzione goniometrica
sin 7x
y =
con due possibili procedure:
La funzione ha per definizione periodo se, con intero,
T k
Procedura a) sin[(7(x sin 4x
+ kT )] =
cioè, sin[(7x 7kT sin 4x
+ )] =
poichè la funzione seno ha periodo 2π, allora
sin[7x 7kT sin[7x 2kπ]
+ ] = +
e l’uguaglianza è quindi valida se 7T 2π da cui
= 2π .
T = 7
0 0
La funzione sin 7x viene dalla trasformazione della funzione sin che ha
y = y = x,
Procedura b) 0 0 x
periodo 2π, mediante una sostituzione 7x ovvero . Se l’asse delle
T = = x, x = 7
0
x
ascisse viene così contratto di un fattore , il periodo subirà la stessa contrazione e
T
7
pertanto è pari a 2π
x
0 (2π) =
T = 7 7
12 Capitolo 1. Funzioni
Se due funzioni e hanno periodi diversi e , rispettivamente, le funzioni
f(x) g(x) T T g
f
f(x) T
± · f
e hanno un periodo pari al m.c.m. tra e nell’ipotesi che
f(x) g(x), f(x) g(x) T T g
f T
g(x) g
sia un numero razionale e diverso da 1. Se il rapporto è irrazionale le precedenti combinazioni
di funzioni non sono periodiche. Se il periodo globale è minore o uguale del periodo
T = T g
f
comune. Calcolare il periodo di combinazioni di funzioni periodiche e non periodiche.
Esempio 1.9. 23
a) sin cos 3x è periodica di 2π che è il m.c.m. tra 2π e π.
f(x) = x + T = T =
g
f
T Q,
∈
f
b) sin cos non è periodica perché il rapporto infatti 2π e 2,
f(x) = x + πx / T = T =
g
f
T g
Q
2π ∈
per cui = π /
2 23
x
c) sin cos 3x tan dove 4π,
f(x) = − + x T = T = π, T = π
x tan
cos 3x
sin
2 2
d) Se consideriamo la funzione 1
f(x) = log[sin x]
il periodo è 2π
Se una funzione è periodica i valori delle sue ordinate si ripetono con regolarità, quindi
per studiarne l’andamento su tutto l’asse reale, basterà studiarne l’andamento in un singolo
periodo. Ripetiamo ancora che la condizione di parità per una funzione è con
f(x + T ) = f(x)
periodo.
T
1.4.4 Limitatezza
La limitatezza di una funzione valuta se le ordinate di una funzione raggiungono un valore
massimo e un valore minimo, oppure non hanno un limite.
Sezione 1.4. Le caratteristiche di una funzione 13
R,
→
Consideriamo una funzione la funzione si dice:
Definizione 1.12. f : A
se il suo codominio ha un limite superiore
B f(A) k:
LIMITATA SUPERIORMENTE R|∀x
∃k ∈ ∈ >
A, k f(x)
se il suo codominio f(A) ha un limite inferiore
B k:
LIMITATA INFERIORMENTE R|∀x
∃k ∈ ∈ 6
A, k f(x)
se il suo codominio è limitato sia superiormente che inferiormente:
B f(A)
LIMITATA R, |f(x)|
∃k ∈ ∈
0|∀x 6
k > A, k
Se una funzione non è limitata da un valore del codominio si dirà illimitata, in
k
particolare:
I se il suo codominio non è limitato superiormente;
B f(A)
LLIMITATA SUPERIORMENTE
I se il suo codominio non è limitato inferiormente;
B f(A)
LLIMITATA INFERIORMENTE
I se il suo codominio non è limitato superiormente né inferiormente.
B f(A)
LLIMITATA
Determinare la limitatezza o illimitatezza di funzioni.
Esempio 1.10.
In (a) La funzione log(x) è illimitata: né superioremente né inferiormente limitata;
f(x) =
in (b) La funzione è limitata inferiormente e illimitata superiormente; in (c) La funzione
2
sin è limitata sia superiormente che inferiormente; in (d) La funzione è
f(x) = x f(x) = x
limitata inferiormente e illimitata superiormente.
14 Capitolo 1. Funzioni
1.5 La classificazione delle funzioni
Classifichiamo le possibili funzioni che incontreremo o abbiamo incontrato in base alle
operazioni che compaiono nella loro espressione analitica. Se nell’espressione analitica di
una funzione compaiono le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione,
elevamento a potenza con esponente razionale o estrazione di radice siamo di fronte ad una
.
FUNZIONE ALGEBRICA
Le funzioni che non possono essere rappresentate usando solamente le operazioni pre-
cedentemente ricordate si dicono . Tra le più note funzioni trascendenti
TRASCENDENTI
ricordiamo le funzioni goniometriche, quelle esponenziali e quelle logaritmiche.
A seconda che le funzioni algebriche contengano o meno l’operazione di radice e l’opera-
zione di divisione suddividiamo le funzioni algebriche in ,
RAZIONALI FRATTE RAZIONALI
o polinomiali, e .
INTERE IRRAZIONALI FRATTE IRRAZIONALI INTERE
Per non creare equivoci ricordiamo che una funzione è definita fratta quando il
MEMO!!
denominatore contiene la variabile indipendente è invece definita irrazionale quando tale
x,
variabile appare sotto il segno di radice.
Classificazione di funzioni.
Esempio 1.11.
Classifichiamo le seguenti funzioni:
Sezione 1.6. Funzioni inverse, composte e uguali 15
√
(x+5)
a) è una funzione irrazionale intera, infatti pur avendo un denominatore,
f(x) = 3
questo non contiene la variabile indipendente x;
x
