Area del rettangolo circoscritto ad un ellisse

[curie88]

Buona sera a tutti, se volete dilettarvi con un piccolo passatempo:

Sia data un ellisse, con centro nell-origine $O$, di semi assi, $a=3$(su asse $x$), e $b=2$(su asse $y$), non traslata e non ruotata.

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Si prenda un punto $P$ su di essa, tracciando il polo $OP$, e l-angolo tra questo segmento e l-asse $x$.

Si prenda un punto $P$ su di essa, tracciando il segmento polare $OP$, e l-angolo tra la retta radiale e l-asse $x$.
Infine si costruiscano le tangenti, quella per $P$ e le altre $3$ tutte ortogonali tra loro.
Qual è l-area del rettangolo circoscritto, così ottenuto, se l-angolo sotteso retta polare, deve essere di $17°$(si consideri il valore con 3 cifre dopo la virgola)

Sperando che vi aggrada, e soprattutto che sia chiaro.
Gradirei una vostra risposta, anche descrittiva, per confronto. Grazie per le eventuali risposte.

[orsoulx]

Il risultato è:

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25.753 arrotondato per eccesso da 25.75292....

Guarda che se Erasmus ti legge e decide di correggere le tue imprecisioni, rischi di sorbirti un'invettiva a puntate.
Mi limito a segnalarti l'uso disinvolto dei termini polo e polare: polo (di qualcosa rispetto a qualcos'altro) dovrebbe essere un punto.
Ciao

[curie88]

Hai perfettamente ragione, mi sembrava di ricordare che anch-esso fosse definito così...che poi perché mai avrebbero dovuto definire due cose ben distinte con lo stesso nome?
Siccome non trovo il suo nome lo definisco segmento polare(il segmento OP) distinto dal polo O.

[orsoulx]

Siccome non trovo il suo nome lo definisco segmento polare(il segmento OP) distinto dal polo O.

O è, semplicemente, il centro dell'ellisse. Bisogna essere un po' masochisti per definirlo polo di...
P un punto dell'ellisse tale che OP sia inclinato di 17° rispetto all'asse maggiore dell'ellisse. Non serve altro (le auto simmetrie dell'ellisse permettono quattro posizioni di P, con rettangoli circoscritti congruenti).
Ciao

[curie88]

Siccome non trovo il suo nome lo definisco segmento polare(il segmento OP) distinto dal polo O.

O è, semplicemente, il centro dell'ellisse. Bisogna essere un po' masochisti per definirlo polo di...
P un punto dell'ellisse tale che OP sia inclinato di 17° rispetto all'asse maggiore dell'ellisse. Non serve altro (le auto simmetrie dell'ellisse permettono quattro posizioni di P, con rettangoli circoscritti congruenti).
Ciao

Per quanto riguarda il centro O, non capisco il masochismo, visto che ho chiesto l-angolo tra la retta radiale e l-asse x,
non ho specificato la sua direzione dal centro O semplicemente perché O l-ho definito polo, ed in genere in coordinate polari,
l-angolo è sempre quello in senso antiorario, che poi il punto P è simmetrico rispetto ad esso è abbastanza palese;anche perché, il mio(non il vostro) intento primario,non specificato, era di trovare,
l-equazione polare.

Non trovo alcuna tua descrizione del metodo, da te adottato, per la risoluzione dell-esercizio.

[orsoulx]

@curie88:
devi scusarmi, ma, visto che parlavi di asse x e asse y, non avevo capito che pensassi in termini di coordinate polari.
Questo fraintendimento mi ha portato ad attribuire a 'polo' il significato della geometria proiettiva (polo di una retta rispetto ad una conica).

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Ho trovato il risultato usando le coordinate ortogonali e, in particolare, la circonferenza luogo dei punti che 'vedono' un'ellisse sotto un angolo retto. Non credo sia troppo dispendioso chiederti se, intanto, concordiamo su risultato numerico.

Una curiosità: l'i-Pad non scrive l'apostrofo?
Ciao

[teorema55]

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A me risulta 26,08

Segue dimostrazione.............forse.

[orsoulx]

Segue dimostrazione.............forse.

Penso di no.
Visto che l'area $ A $ di un rettangolo circoscritto ad un'ellisse (nel senso che i quattro lati sono tangenti alla conica) di semiassi $a $ e $b$ vale:
al minimo $ 4ab $ quando i lati sono paralleli agli assi dell'ellesse;
al massimo $ 2(a^2+b^2) $ quando il rettangolo diventa un quadrato.
Nel nostro caso $ a=3; b=2 $, quindi $ 24 <=A<=26 $.
Ciao

[orsoulx]

@curie88:
ho provato a risolvere il problema usando la coordinate polari, ma mi perdo per strada.
Usando, invece, le coordinate ortogonali si giunge, dopo un po di giri, a questa espressione per l'area che cerchi:

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$ A=4ab sqrt((a^6tan^2 \phi+b^6)(a^2tan^2 \phi+b^2))/(a^4tan^2 \phi+b^4) $.

Risultato che non può cambiare utilizzando le coordinate polari.
Ciao

[curie88]

Ciao orsoulx, scusa se sono di poche parole ma il tablet non mi permette...
Nella formula da te usata l-angolo qual è? Ho provato 2 conti ma non mi torna il tuo risultato.
Non ne esco, non riesco a trovare la relazione che lega la_angolo t a k, dove k è la_angolo tra la retta polare e l-asse x.