circuiti RL

[skullface1]

Come risolvo questo problema? A parte scrivere le equazioni delle maglie e dei nodi non so come fare.. help

[skullface1]

Il testo è in allegato, qualcuno mi può aiutare?

[skullface1]

Nessuno riesce ad aiutarmi?

[CaMpIoN]

Ti propongo questo metodo, che tuttavia ha dei problemi. Premetto che non mi sono cimentato a provare altri metodi, ne a cercarli, pertanto potrebbero esisterne di migliori.

Il circuito che descrive il testo dovrebbe essere il seguente:

circuito rl

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Dove ho segnato le correnti.
Seguendo lo schema applico la LKC al nodo in cui si diramano le correnti e la LKV alle due maglie, si ottiene il seguente sistema
\(\displaystyle
\left \{
\begin{array}{lc}
i(t)=i_R(t)+i_L(t)\\
E-Ri(t)-L\frac{di_L(t)}{dt}=0\\
L\frac{di_L(t)}{dt}-Ri_R(t)=0
\end{array}
\right.
\)
Inizio con il derivare la prima equazione in entrambi i membri.
Poi dalla secondo sposto i primi due termini a secondo membro e inverto i segni, si ottiene
\(\displaystyle
\left \{
\begin{array}{lc}
\frac{di(t)}{dt}=\frac{di_R(t)}{dt}+\frac{di_L(t)}{dt}\\
L\frac{di_L(t)}{dt}=E-Ri(t)\\
L\frac{di_L(t)}{dt}-Ri_R(t)=0
\end{array}
\right.
\)
Adesso posso sostituire la seconda trovata nella prima e nella terza, escludo completamente la seconda:
\(\displaystyle
\left \{
\begin{array}{lc}
\frac{di(t)}{dt}=\frac{di_R(t)}{dt}+\frac{E-Ri(t)}{L}\\
E-Ri(t)-Ri_R(t)=0
\end{array}
\right.
\)
Ricavo la derivata di $i_R(t)$ dalla prima, applico la derivata ad entrambi i membri alla seconda e inverto tutti i segni
\(\displaystyle
\left \{
\begin{array}{lc}
\frac{di_R(t)}{dt}=\frac{di(t)}{dt}-\frac{E-Ri(t)}{L}\\
\frac{di(t)}{dt}+\frac{di_R(t)}{dt}=0
\end{array}
\right.
\)
Sostituisco ora la prima nella seconda, ottengo
\(\displaystyle \frac{di(t)}{dt}+\frac{di(t)}{dt}-\frac{E-Ri(t)}{L}=0\)
Dopo semplici passaggi si ottiene l'equazione differenziale
\(\displaystyle 2L\frac{di(t)}{dt}+Ri(t)=E\)
Poi ho risolto applicando la formula risolutiva che puoi trovare qui, applicata però considerando i coefficienti costanti, la formula è comunque la stessa. Gli estremi di integrazione dovrebbero essere $t$ e $0$, però io ti consiglio di risolverla senza, considerando gli integrali come indefiniti, in questo caso dovresti trovarti una costante additiva nella soluzione che puoi trovare mettendo a sistema con la condizione $i(0)=0$. La soluzione ottenuta da me è la seguente:
\(\displaystyle i(t)=\frac{E}{R}\left(1-\mathit{e}^{-\frac{R}{2L}t}\right) \)
Per trovare $i_R(t)$ considero la seconda equazione del penultimo sistema, esplicito rispetto a $i_R(t)$
\(\displaystyle i_R(t)=\frac{E}{R}-i(t) \)
Sostituendo e applicando semplici passaggi algebrici si ottiene
\(\displaystyle i_R(t)=\frac{E}{R}\mathit{e}^{-\frac{R}{2L}t} \)
A questo punto considero la prima equazione del primo sistema e trovo anche $i_L(t)$
\(\displaystyle i(t)=i_R(t)+i_L(t) \quad \to \quad i_L(t)=i(t)-i_R(t) \quad \to \quad i_L(t)=i(t)-\left(\frac{E}{R}-i(t)\right) \quad \to \quad i_L(t)=2i(t)-\frac{E}{R} \)
Si ottiene
\(\displaystyle i_L(t)=\frac{E}{R}\left(1-2\mathit{e}^{-\frac{R}{2L}t}\right)\)
Raccogliendo le soluzioni del sistema, e quindi le funzioni che esprimono le correnti nel circuito, sono:
\(\displaystyle
\left \{
\begin{array}{lc}
i(t)=\frac{E}{R}\left(1-\mathit{e}^{-\frac{R}{2L}t}\right)\\
i_R(t)=\frac{E}{R}\mathit{e}^{-\frac{R}{2L}t}\\
i_L(t)=\frac{E}{R}\left(1-2\mathit{e}^{-\frac{R}{2L}t}\right)
\end{array}
\right.
\)
Nel seguito ho però problemi anch'io, infatti per risolvere l'esercizio deve essere
\(\displaystyle i_R(t)=i_L(t) \)
Trovando $t$ si ottiene
\(\displaystyle t=\frac{2L}{R}\ln 3 \)
Sostituendo ottengo come valore $4,39\mus$ che non compare nell'esercizio, ho anche verificate quelle equazioni, tutto corretto. Meglio aspettare qualche altro parere, probabilmente ho commesso io un errore.

[RenzoDF]

Ora che finalmente riesco a capire cosa c'era scritto, posso "aiutarti".

Direi che il metodo più rapido sia quello di usare Thevenin per andare a semplificare la rete "vista" dall'induttore con un generatore da E/2 in serie con un resistore da R/2 e considerare che quando le correnti in R e in L risultano uguali sul resistore destro ci sarà una tensione E/3, scrivendo quindi la corrente nell'induttore direttamente come semplice salita esponenziale

$\frac{E}{3R}=\frac{E}{R}(1-e^{-t_x/\tau})$

dove $\tau=2L/R$

possiamo ricavare il tempo incognito

$t_x=-4ln(2/3)approx 1.62 \mu s$

[CaMpIoN]

Perché ci troviamo risultati diversi?
Puoi verificare anche tu i miei passaggi, magari ho sbagliato qualcosa.

[RenzoDF]

Perché ci troviamo risultati diversi?

Non ci ritroviamo perché hai usato una condizione iniziale errata.

[CaMpIoN]

Là dice che "all'istante $t=0$ non scorre alcuna corrente nel circuito", dovrebbe stare a significare che $i(0)=0$?
Noto però che all'instante $t=0$ le correnti $i_R$ e $i_L$ sono uguali ed opposte, strano, ma nei passaggi è sufficiente solo la prima condizione.

[RenzoDF]

Là dice che "all'istante $t=0$ non scorre alcuna corrente nel circuito", dovrebbe stare a significare che $i(0)=0$?

Il testo è scritto come al solito da un incompetente, ma ti ricordo che c'è un $t=0^-$ e un $t=0^+$ e quindi ci sono delle grandezze che nel passaggio da t=0- a t=0+ non possono presentare discontinuità, ovvero le variabili di stato (IL in questo caso), e altre che possono presentare discontinuità (la i e la iR in questo caso); ne segue che quel "non scorre nessuna corrente per t=0" deve essere interpretato come $i_L(0^-)=0, i(0^-)=0, i_R(0^-)=0$ e non come $i(0^+)=0$ in quanto al tempo $t=0^+$ la corrente nei due resistori non può essere di certo nulla, mentre lo sarà solo nell'induttore $i_L(0^+)=i_L(0^-)=0$, non credi?

Il testo avrebbe dovuto specificare che ... non scorre nessuna corrente nel circuito per t < 0 e all'istante t=0 viene "acceso" il generatore di tensione.

... Noto però che all'instante $t=0$ le correnti $i_R$ e $i_L$ sono uguali ed opposte, strano, ...

Direi sia impossibile, come può circolare corrente nell'induttore per t=0+ se non circolava per t=0-?

Riassumendo la situazione per $t=0-$ è la seguente:

$i(0^-)=0$
$i_L(0^-)=0$
$i_R(0^-)=0$

mentre per $t=0+$ avremo:

$i(0^+)=E/(2R)$
$i_L(0^+)=0$
$i_R(0^+)=E/(2R)$

ed infine a regime, per $t=\infty$:

$i(\infty)=E/R$
$i_L(\infty)=E/R$
$i_R(\infty)=0$

[CaMpIoN]

Le leggi di Kirchhoff non dovrebbero risolvere tutti i circuiti? Perché allora utilizzandole in questo caso il risultato non va bene?
In pratica sembrerebbe che la "Matematica" si inventi i valori di $i_R$ e $i_L$ in $t=0$.