equazioni congruenziale

[sara09]

buongiorno cerco il vostro aiuto per risolvere questa equazione congruenziale:
5x=4(mod8)

grazie in anticipo

[3m0o]

Ciao,
Stai lavorando in \( \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}=\{0,1,2,3,4,5,6,7\} \). I tuoi elementi sono i rappresentanti delle classi di equivalenza.
Quello che devi cercare sostanzialmente è il rappresentante della/e classe/i di equialenza che soddisfa l'equazione \( 5x=4 \) tenendo presente che lavori in \( \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}\). Io personalmente cercherei l'inverso moltiplicativo di \( 5 \) in \( \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}\) (che è unico se esiste). D'ora in avanti lo chiamerò \( 5^{-1} \), e moltiplicherei a sinistra l'equazione per l'inverso ottenendo \(1\cdot x = 5^{-1} \cdot 4 \), ottenendo il risultato.
Ora un paio di considerazioni è d'obbligo farle, dal momento \( \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}\) è un anello commutativo unitario (credo si dica cosi in italiano), con unità 1, non è necessariamente detto che ciascun elemento possiede un inverso moltiplicativo, infatti se \( a \) è un divisore di zero allora \( a \) non è inversibile. Ad esempio in \( \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\), \( 3 \cdot 4 = 12 = 0 \) e dunque nessun elemento di \( \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\) moltiplicato per 3 ti da come risultato 1 (elemento neutro), ergo non è inversibile.
\( 1\cdot 3=3\), \( 2\cdot 3=0\), \( 3\cdot 3=3\), \( 4\cdot 3=0\), \( 5\cdot 3=3\).
Quali sono gli elementi inversibili di \( \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}\) e per ciascuno di essi, quali sono gli inversi moltiplicativi?
Quali sono gli elementi inversibili di \( \mathbb{Z}/7\mathbb{Z} \) ?

[sara09]

scusa ma quindi la soluzione è x=5^(-1)4?

in Z8 sono 1,3,5,7
in Z7 sono 1,3,5

[3m0o]

scusa ma quindi la soluzione è x=5^(-1)4?

Si ma quanto vale \( 5^{-1} \) in \( \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \)?? E quanto vale \( 5^{-1} \cdot 4 \) in \( \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \), ovvero a quale classe di equivalenza appartiene??

in Z7 sono 1,3,5

Sei sicura? \( a^{-1} \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) è elemento inverso per la moltiplicazione di \(a \) se \( a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1_{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}} \)

[sara09]

ah no scusa in z7 sono tutti invertibili giusto?

Si ma quanto vale 5−1 in Z/8Z?? a 4?

[3m0o]

ah no scusa in z7 sono tutti invertibili giusto?

Si giusto!
Infatti \( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \) con \(p \) un numero primo è un campo.

Si ma quanto vale 5−1 in Z/8Z?? a 4?

No \( 5^{-1} \neq 4 \), come cerchi l'inverso? Prova a fare \( 5 \cdot 4 = 20 \neq 1 \), bensì \( 5 \cdot 5 = 25=1 \) dunque \( 5^{-1} = 5 \). Ora, quanto fa \( 5^{-1} \cdot 4 \) ?

[sara09]

Si ma quanto vale 5−1 in Z/8Z?? a 4?

No \( 5^{-1} \neq 4 \), come cerchi l'inverso? Prova a fare \( 5 \cdot 4 = 20 \neq 1 \), bensì \( 5 \cdot 5 = 25=1 \) dunque \( 5^{-1} = 5 \). Ora, quanto fa \( 5^{-1} \cdot 4 \) ?[/quote]

fa 20 giusto?

[3m0o]

fa 20 giusto?

Si giusto, dunque quanto fa in \( \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \) ? E quindi qual'è la soluzione della tua equazione?

[sara09]

12 giusto?
scusa per quanto riguarda i neutri in un esercizio di dice di calcolare i neutri a destra e i neutri a sinistra e i neutri ora i neutri a destra ci sono ma secondo te è possibile che il neutro a destra e la coppia (1,b)?

[3m0o]

12 giusto?

Come fa a fare 12 se lavori in \( \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} = \{ 0,1,2,3,4,5,6,7\} \)?? Cosa hai fatto per ottenere 12?

scusa per quanto riguarda i neutri in un esercizio di dice di calcolare i neutri a destra e i neutri a sinistra e i neutri ora i neutri a destra ci sono ma secondo te è possibile che il neutro a destra e la coppia (1,b)?

Scusami ma non ho capito, potresti spiegarti meglio?