Un problema di Teoria dei numeri

La teoria dei numeri,di cui mi sto interessando
in questo periodo (....ma appena un po'),e'
piuttosto difficile.
So di scoprire l'acqua calda , ma vorrei farvi
partecipi delle mie difficolta' con un problema:
<b>Dimostrare che, per ogni x in Z,il numero
x<img src=icon_smile_dead.gif border=0 align=middle>+1 non e' divisibile per 7.
Generalizzare la questione provando che detto numero
non e' divisibile per i numeri primi della forma 4n+3
con n in N.</b>
karl.

Probabilmente al caso con n=1 ci sei già arrivato, ma...
considerando che
(x+7)^2 = x^2 mod 7
si ha che il periodo dei quadrati mod 7 è appunto 7. Dato che nessuno dei primi 7 quadrati è uguale a -1 (mod 7) questo vuol dire che x^2+1 nn è mai divisibile per 7.

Il procedimento però nn è facilmente generalizzabile. L'unica cosa che si può estrapolare è che i quadrati hanno periodo (4n+3) mod 4n+3..Per ora mi blocco anch'io.
Ciao

Per Thomas.
Ti ringrazio per la risposta nel caso di n=1.
Per un "n" generico avrei trovato questa
soluzione ( su cui mi piacerebbe avere
una tua valutazione) .
Supponiamo che sia :
(A) x<img src=icon_smile_dead.gif border=0 align=middle>== -1 (mod 4n+3) [il doppio uguale sostituisce
il simbolo di congruenza]
Dal piccolo teorema di Fermat,applicabile in quanto
si suppone 4n+3 primo,risulta:
x^(4n+2)==1 (mod 4n+3) od anche
(B)(x<img src=icon_smile_dead.gif border=0 align=middle>)^(2n+1)==1 (mod 4n+3)
Ora elevando la (A) a 2n+1 (che e' dispari) si ottiene:
(x<img src=icon_smile_dead.gif border=0 align=middle>)^(2n+1)==-1 (mod 4n+3) in contraddizione con la (B).
Che ne dici?.
Saluti da karl.

Dico che è correttissimo... Avevo provato ad applicare Fermat, ma ero giunto solo a conclusioni inutili...Peccato! La sol era a portata di mano...

Ah...Se hai qualche altro problema di questo tipo postalo pure. Così provo a 'rifarmi' in qualche maniera...

Ecco un altro esercizio che mi pare simpatico:
<b>Dimostrare che l'equazione:
2x<img src=icon_smile_dead.gif border=0 align=middle>-219y<img src=icon_smile_dead.gif border=0 align=middle>-1=0 non ha soluzioni in Z</b>
karl.

Grazie karl!

2x^2-1=219y^2

Analizzando i residui mod quattro:
3/1 == 0/3
L'unica sol accettabile quindi è x pari e y dispari.
Poniamo x=2z e y=2k+1
8z^2-1=219(2k+1)^2
Sviluppando e dividendo per 4

2z^2=219k^2+55+219k

Ma il primo membro è sicuramente pari.
Il secondo:
- se k pari: P+P+D=D
- se k dispari: D+D+D=D

Il controllo 'parità' nn funzione: l'equazione è impossibile..
sperando che nn ci siamo errori di calcolo...

Cmq Karl che cosa hai contro la teoria dei numeri (la regina della matematica! o qualcosa di simile)? Secondo merita la stessa attenzione e rispetto di qualsiasi altra branca!
Ciao

Non ho nulla contro la Teoria dei numeri,anzi.
Gli e' che personalmente la trovo ostica.
Grazie per la soluzione( la mia e' assai
diversa,almeno credo)
Saluti da karl.

Postala se è così diversa...

Ecco la mia soluzione:
2x<img src=icon_smile_dead.gif border=0 align=middle>-1=3*73y<img src=icon_smile_dead.gif border=0 align=middle>, quindi
2x<img src=icon_smile_dead.gif border=0 align=middle>==1 (mod 3) od anche
3x<img src=icon_smile_dead.gif border=0 align=middle>-x<img src=icon_smile_dead.gif border=0 align=middle>==1 (mod 3) cioe'
x<img src=icon_smile_dead.gif border=0 align=middle>==-1 (mod 3) mentre per Fermat risulta:
x<img src=icon_smile_dead.gif border=0 align=middle>==1 (mod 3)
Quindi l'equazione data non puo' avere
soluzioni in Z senza contraddire il piccolo
teorema di Fermat.
Saluti da karl.