pollo93 ha scritto:Anche perché come hai detto tu altrimenti qualsiasi dominio si può scindere in domini semplicemente connessi e quindi significherebbe che di fatto qualunque forma chiusa è localmente esatta.
Eh no! O meglio, sì, ma non serve ai nostri propositi. Sempre per utilizzare l'esempio di cui sopra, consideriamo la forma argomento su $\mathbb{R}^2-{0}$. Il dominio può essere scisso in componenti connesse, quindi su ciascuna di esse la forma è esatta. Ma attenzione, su ciascuna componente: se prendo un cammino che passa per due componenti semplicemente connesse diverse, la forma non si comporta come una forma esatta.
Esempio: circuitiamo la forma argomento sulla circonferenza di centro $(2,0)$ di raggio $1$. Questo percorso, questo cammino è contenuto tutto in $\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}$ che è semplicemente connessa. Infatti, la circuitazione, una volta effettuati i calcoli, si vede essere nulla: su questo cammino la forma è esatta.
Ora circuitiamo la stessa forma sulla circonferenza di centro $(0,0)$ e raggio $1$. Effettuati i calcoli otteniamo appunto $2\pi$ (se percorsa una volta, se percorsa $n$ volte avremmo $2n\pi$). Questo perché quella circonferenza
non può essere contenuta in una sola componente semplicemente connessa.
pollo93 ha scritto:Quindi se ho ben capito l'esattezza è una proprietà locale. Le forme sono esatte in punti e tanti punti formano un insieme, è così?
Mi aspettavo invece il contrario, cioè che l'esattezza fosse una proprietà valida su insieme e che se verificata la si può sfruttare per ridurre il problema (ad esempio il calcolo di integrali) a pochi (2) punti.
Infatti è così, è una proprietà dell'insieme, che si riflette sui cammini in esso contenuti (vedi sopra).
pollo93 ha scritto:Poi non ho capito il problema dell' "avvolgersi".
Che differenza c'è tra circuitare su una circonferenza di raggio R nell'origine e una curva che non avvolge l'origine. In ogni caso lungo il mio tragitto io non passo mai da (0,0). Immagino che la differenza sia legata alla definizione di "semplice connessione", però torniamo alla questione sopra...
E' esattamente così, la differenza è legata alla definizione di insieme semplicemente connesso, che intuitivamente è detto "senza buchi". Infatti, se scelgo un cammino continuo (l'ho sempre sottinteso, ma si parla di cammini continui) che si avvolge intorno all'origine, non mi è possibile trasformarlo con un omotopia in un punto, perché c'è quel buco in $(0,0)$.
Questo problema non si presenta con l'altra circonferenza che non circonda il buco, infatti quella è effettivamente omotopa a un punto.
- People think they understand quantum physics. They don't. Only I understand physics. Anyone who says otherwise, can go fuck themselves. - Richard Feynman