Sto cercando un modo di descrivere quali sono tutti i punti di accumulazione dell'insieme costruito in questo modo: data una circonferenza di raggio $R$, chiamo $\mathcal{A}$ l'insieme dei punti sulla circonferenza ottenuti dalle infinite rotazioni di angoli multipli di un dato angolo $\alpha \in \mathbb{Z}$.
In altre parole: $\mathcal{A}=\{x \in [-\pi R, \pi R) \subset \mathbb{R}|\exists n,k \in \mathbb{Z}(x=n\alpha R -k2 \pi R) \}$
Si dimostra in un attimo che deve avere la seguente condizione tra $n$ e $k$: \(\displaystyle n\frac{\alpha }{2\pi }-\frac{1}{2}\geq k>n\frac{\alpha }{2\pi }+\frac{1}{2} \) o equivalentemente \(\displaystyle \left( 2k-1 \right)\frac{\pi }{\alpha }\leq n<\left( 2k+1 \right)\frac{\pi }{\alpha } \).
Sono riuscito a dimostrare solo che $\mathcal{A}$ è infinito, poiché se imponessi: $x_1=x_2$ con $n_1 \ne n_2$, allora ciò implicherebbe:
\(\displaystyle n_1\alpha R -k_12 \pi R=n_2\alpha R -k_22 \pi R \)
\(\displaystyle 0 \ne (n_1-n_2)\alpha =(k_1-k_2)2\pi \)
che è assurdo poiché $\pi \notin \mathbb{Q}$.
Dunque $\mathcal{A}$ è sia infinito che limitato $\Rightarrow$ ha almeno un punto di accumulazione.
Più di questo però non riesco a trovare, vorrei capire quali e quanti sono questi punti di accumulazione. Ho pensato che l'insieme dei punti di accumulazione di $\mathcal{A}$ potesse essere l'intero intervallo $[-\pi R, \pi R)$, ma per dimostrare questo dovrei far vedere che per ogni $x \in [-\pi R, \pi R)$ esistono una coppia di indici $n$ e $k$ tali che la distanza $|x-(n\alpha R-k2\pi R)|$ sia piccola a piacere, ed anche utilizzando le disuguaglianze scritte sopra non si arriva a niente di importante...
Spero in un lume,
grazie in anticipo.