Definizione derivata di Lie

[Indrjo Dedej]

Forse con curva di campi vettoriali intende la funzione \(t \mapsto \phi_t^\ast Y\). Prova a tener fermo \(p\): cos'è la mappa \(t \mapsto Y(\phi_t(p))\)?

[papàcastoro]

Risponderei che se $ϕ_t$ è la mia curva, allora la mappa che a t associa il campo vettoriale che "mangia" la curva passante per p fisso è una mappa che a ogni valore del parametro t mi dà i vettori tangenti velocità nei vari punti della curva.

Se corretto però ho gli ingranaggi della testa bloccati su come arrivare a \(t \mapsto \phi_t^\ast Y\) da questa considerazione.

[Indrjo Dedej]

E hai ragione, infatti ho sbagliato io a dire il pullback. (Va bene per i campi scalari, ma non è quella cosa in generale.) Poi, se provi su un esempio semplice non ha proprio senso. Usa la definizione di pullback che sai, perché comunque la derivata di Lie usa il pullback di \(\phi_t\) come sopra. Spiace averti confuso.

[papàcastoro]

Figurati, mi hai fatto ragionare! Non è mai tempo perso
Grazie per il link.

[Cannelloni]

Ciao, scusa il ritardo nella risposta. Penso di star seguendo il corso di istituzioni di Geometria con Martelli insieme a te; ho capito bene? Ad ogni modo non è importante, quello che conta è che con curva di campi vettoriali intende solo che lungo quella curva identifica tutti i tangenti lungo la curva con $T_pM$ usando la mappa $d(\phi_t)_p:T_pM\rightarrow T_{\gamma(t)}M$. Questo lo fa perché almeno ha senso quella derivata. Per esempio, se il campo tensoriale che stai derivando è di tipo (1,1) in pratica in ogni punto $p$ hai una mappa lineare $s(p):T_pM\rightarrow T_pM$. Restringersi ad una curva e derivare rispetto a $t$ non ha senso perché in ogni punto la mappa è tra spazi vettoriali DIVERSI, non canonicamente identificati. Questa cosa del pullback lungo una curva è UN modo di identificare i tangenti lungo ogni linea integrale. Adesso puoi scriverti la tua matrice con entrate dipendenti da $t$ e adesso puoi derivare

[Cannelloni]

Può essere un esercizio interessante capire perché ho detto MATRICE. Infatti si parla di matrice solo se siamo in $RR^n$, ma $T_pM$ non è canonicamente identificato con $RR^n$. Il punto è che puoi scegliere un isomorfismo con $RR^n$, leggere la mappa lineare in coordinate, derivare la matrice (e derivare ogni entrata) e poi riportare sù. Questa cosa non dipende (incredibilmente) dall'identificazione scelta