18/01/2019, 19:27
19/01/2019, 11:30
Rjck ha scritto:Sia \(\displaystyle \mathrm{T:} \mathbb{R}^3->\mathbb{R}^3 \) che manda il piano \(\displaystyle \pi\mathrm{:-2x+3y+z+1=0}\) nel piano \(\displaystyle \rho \mathrm{:x-3y+2z=0}\), voglio trovare la forma esplicita o anche la matrice associata a T
Rjck ha scritto:Mia Soluzione:
Mi sono ricondotto le equazioni dei due piani in forma parametrica
\(\displaystyle \pi: \begin{cases} x=s \\ y=r \\ z= 2s - 3r -1\end{cases} \) e \(\displaystyle \rho: \begin{cases} x=3s'-2r'\\ y=s' \\ z=r'\end{cases} \)
19/01/2019, 13:47
Bokonon ha scritto:Ciao Rjck
Mi piace lo spirito e va premiato.
Però faremo a modo io, ok?
Bokonon ha scritto:$ pi:{( ( x ),( y ),( z ) ) =s( ( 1 ),( 0 ),( 2 ) ) +r( ( 0 ),( 1 ),( -3 ) ) +1*( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) $
Bokonon ha scritto:Immagina lo spazio R2, ovvero un piano. Puoi ruotarne i punti ma non spostarlo dalla sua origine. Quindi per farlo lo immergi in una dimensione superiore R3 dove puoi ruotarlo a piacimento e traslarlo. Vedrai che questa visione ti tornerà utile in futuro...specie per capire da dove spuntano gli "uno" nelle matrici.
20/01/2019, 06:10
Rjck ha scritto:Perdonami, ma l'ultimo vettore colonna non dovrebbe essere della forma $( ( 0 ),( 0 ),( -1 ) ) $ ? Non voglio essere pignolo eh, anche perché mi basta capire il tuo ragionamento, i calcoli non sono importanti ora.
Rjck ha scritto:Adesso ho trovato la matrice S' associata all'applicazione $ S':R^3rarr rho $ meglio definita $ S'(x,y,z)=(x+3y-2z,y,z) $
Rjck ha scritto:Vorrei chiederti una cosa, provo a fare un passo in più, quello che potremmo fare dopo sarebbe una composizione di funzioni? Avendo $ S(x,y,z)=(x,y,2x-3y+1) $ e $ S'(x,y,z)=(x+3y-2z,y,z) $ cioè $S' @ S$. Mi sono lanciato ma non so quanto sia giusto
20/01/2019, 11:41
Bokonon ha scritto:Attenzione $ S'(x,y,z)=(3x-2y, x,y) $
Ovvero l'applicazione trasforma gli $ (x,y,z) $ in $ (x^',y^',z^') $
La componenti diventano:
$ { ( x^'=3x-2y ),( y^'=x ),( z^'=y ):} $
Da cui $ x^'=3x-2y=3y^'-2z^' $ quindi $ rho: x^'-3y^'+2z^'=0 $
Poi appunto usiamo di nuovo (x,y,z) ma in realtà sono trasformazioni...per questo specificavo a cosa corrispondono i vari (x,y,z) perchè spesso la cosa genera (giustamente) confusione. Come vedi una variabile "sparisce" perchè i gradi di libertà passano da 3 a 2 (come le dimensioni). Tradotto: di solito prendiamo la z come univocamente definita dai valori x,y....che è il concetto stesso di funzione
Bokonon ha scritto:Beh era proprio quello il passaggio successivo comporre prima le applicazioni restando nella base canonica e dopo trovare effettivamente T:π→ρ !
Fammi vedere! Provaci da solo o comunque prova a scriverle e dimmi cosa vorresti fare.
21/01/2019, 07:00
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