[Teoria dei fasci] Esercizio

Sia $k$ algebricamente chiuso. Prendiamo $X:=\mathbb{P}^1(k)$ con la topologia di Zariski, consideriamo per ogni punto $p \in X$ l'inclusione $i_{p} \hookrightarrow X$, sia inoltre $\mathbb{Z}_p$ il fascio che manda $p$ nell'anello $\mathbb{Z}$ e $i_{p \ast}\mathbb{Z}_{p}$ il fascio che associa ad ogni aperto $U$ l'anello $\mathbb{Z}_{p}(i^{-1}(U))$, $\mathbb{Z}_{p}(O/)=0$, dunque si ha

$i_{p \ast}\mathbb{Z}_{p}(U)={(\mathbb{Z},p \in U),(0,p\in U^{c}):}$

Dimostrare che per ogni $U \sube X$ aperto
$(oplus_{p \in X} i_{p \ast}\mathbb{Z}_{p})(U)=oplus_{p \in U} \mathbb{Z}$

Ultima modifica di dan95 il 09/08/2017, 04:55, modificato 2 volte in totale.

Sembra un caso particolare della risoluzione di Godement del fascio \(\mathbb{Z}_p\) (che altrove si chiama fascio grattacielo). Solo che lì avresti avuto il prodotto, non il coprodotto

(PS: la categoria degli anelli unitari non ha un oggetto terminale)
(PPS: non è necessario prendere $\mathbb P^1$, questa cosa è vera per ogni spazio topologico, avendo cura di definire bene il fascio grattacielo).

la categoria degli anelli unitari non ha un oggetto terminale

Giusto, sorry...

C'è qualcosa che non va in questo esercizio: se $V\subseteq U$ non hai delle restrizioni canoniche $\oplus_{p\in U} \mathbb Z \to \oplus_{p\in V} \mathbb Z$, quanto piuttosto un'immersione $\oplus_{p\in V} \mathbb Z \to \oplus_{p\in U} \mathbb Z$.

Sei sicuro che l'isomorfismo non sia col prodotto (e allora le restrizioni sono proiezioni che dimenticano \(\prod_{p\in U\setminus V} \mathbb Z\) )? Questo collimerebbe anche con la definizione di risoluzione di Godement...

Se dotiamo $U$ della topologia cofinita, per ogni $V \sube U$ aperto non vuoto $U-V$ è finito.

Se dico corbellerie perdonami, sono alle prime armi (un sasso).

Ultima modifica di dan95 il 09/08/2017, 10:41, modificato 2 volte in totale.

La topologia è quella di Zarisky, per ogni $V \sube U$ aperto $U-V$ è finito.

Se dico corbellerie perdonami, sono alle prime armi (un sasso).

Non mi pare che una coppia di aperti di Zariski in \(\mathbb{P}^1(\mathbb C)\) abbia questa proprietà (interseca i domini delle due carte dell'atlante ovvio).

La topologia di Zariski coincide con la topologia cofinita su $\mathbb R$, perché lì i chiusi, essendo luoghi di zeri di polinomi, devono essere insiemi finiti.

Allora non saprei l'esercizio chiede la somma...

p.s. ZARISKI*

Però se dotiamo $U$ non vuoto della topologia cofinita vale

E se mio nonno avesse tre palle...
Per quale motivo ti sta tanto a cuore con la topologia cofinita?

Allora non saprei l'esercizio chiede la somma...

p.s. ZARISKI*

Come ti ho detto, il fatto è che con la somma, quello che ottieni a destra dell'uguale non è nemmeno un prefascio (perché è covariante).