trovare biiezioni $NN->ZZ$ e $NN->QQ$

1) Trovare una funzione biiettiva da $NN$ in $ZZ$
2) Trovare una funzione biiettiva da $NN$ in $QQ$

n.b.: la richiesta non è "dimostrare che esiste una funzione..."
in entrambi i casi bisogna scrivere esplicitamente la funzione.

Ovviamente si può svolgere anche solo il punto 1 ,o solo il punto 2.

Per la prima:

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$$f(x) = \left\{\begin{array}{ll}
\frac{x}{2} & : x \text{pari}\\
-\frac{x-1}{2} & : x \text{dispari}
\end{array}
\right.$$

Non sono sicuro che la funzione che ho pensato per il secondo punto sia sufficientemente esplicita.

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Costruisco prima una funzione iniettiva $QQ \to ZZ$, definita così:
$f(m/n) = 2^m 3^n sign(m/n)$, dove $m/n$ è una frazione ridotta ai minimi termini.
E' possibile disporre tutti i numeri della forma $ 2^m 3^n$ in ordine crescente, tenendo anche conto che $n>0$, quindi definire una funzione $g: Im(f) \to NN$ che associa ad ogni numero la sua posizione meno 1.
Per esempio:
$g(3) = 0$, $g(6) = 1$, $g(9) = 2$, $g(12) = 3$, $g(24) = 4$, $g(27) = 5$, ecc.
Analogamente per i numeri negativi definisco:
$g(-3) = -1$, $g(-6) = -2$, $g(-9) = -3$, $g(-12) = -4$, $g(-24) = -5$, $g(-27) = -6$, ecc.
E' piuttosto chiaro che la funzione $g \circ f$ è una funzione biiettiva tra $QQ$ e $ZZ$.
A questo punto resta da comporla con la famosa funzione suggerita da Pachisi per avere una funzione biiettiva tra $QQ$ e $NN$.

@Pachisi Quasi: \(\displaystyle0\) e \(\displaystyle1\) vanno entrambi in \(\displaystyle0\)!

Basta cambiare

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$f(x)={(x/2\ se\ pari.),(-(x+1)/2\ se\ dispari):}$

Penso...

@j18eos: Giusto, non me ne ero accorto!
Dovrebbe funzionare con la correzione di dan95

@Robbstark
Non capisco quella che hai definito è una funzione che va da $ZZ×ZZ \rightarrow ZZ$

Per quanto riguarda la funzione che ho chiamato $f$, va da $QQ$ in $ZZ$. Dato che gli elementi di $QQ$ sono frazioni di interi, è immediato quel che osservi, cioè che $QQ$ è equivalente ad un sottinsieme di $ZZ \times ZZ$.
La funzione $g$ va invece da $Im(f)$ in $ZZ$.
Questa è la parte chiave. A questo punto mi servo della funzione di Pachisi per portare da $ZZ$ in $NN$, avrei dovuto specificare la sua inversa, ma non ci ho fatto molta attenzione perché quella parte del problema mi era già nota.

Quello che intendevo riguardava solo un fatto di notazione, non si dovrebbe scrivere $f(m,n)=...$ invece che $f(m/n)$

Credo che la notazione $f(m/n)$ sia corretta. In fondo avrei potuto scrivere anche $f(x) = 2^{num(x)} 3^{den(x)}$, dove le funzioni $num$ e $den$ associano un numero razionale con il numeratore e il denominatore della frazione corrispondente, ridotta ai minimi termini, ma mi è sembrato più semplice scrivere in quel modo.

Scrivere $f(m,n)$ va bene pure, ma bisogna specificare che il dominio non è tutto $ZZ \times ZZ$, bensì quel sottinsieme che genera frazioni $m/n$ ridotte ai minimi termini. Comunque alla fine è più o meno equivalente.