20/03/2019, 17:43
Si dice che $z_0$ è uno zero di $f$ in $Omega$ se risulta $f(z_0)=0$.
Sia $z_0$ uno zero di $f$ in $Omega$.
Se esiste un numero $nu in NN \setminus \{ 0\}$ tale che:
\[
\begin{cases}
f^{(\nu)}(z_0) \neq 0 \\
f^{(n)}(z_0) = 0 &\text{per ogni } 0\leq n < \nu
\end{cases}
\]
si dice che $z_0$ è uno zero d'ordine $nu$ per $f$ in $Omega$ ed il numero $nu$ si chiama ordine di $z_0$.
Se, invece, un tale $nu in NN\setminus \{0\}$ non esiste, ossia se risulta:
\[
f^{(n)} (z_0) = 0 \text{ per ogni } n \in \mathbb{N}\; ,
\]
si dice che $z_0$ è uno zero d'ordine infinito per $f$ in $Omega$.
Il punto $z_0$ è uno zero d'ordine $nu$ per $f$ in $Omega$ se e solo se:
\[
\begin{cases}
c_\nu \neq 0 \\
f(z) = \sum_{n=\nu}^\infty c_n\ (z-z_0)^n \text{, per ogni } z \in D(z_0;r) \subseteq \Omega \text{ ($r>0$)}
\end{cases}
\]
(qui e nel seguito $D(z_0;r)=\{z in CC:\ |z-z_0|<r\}$ è l'intorno circolare aperto di $z_0$ di raggio $r>0$).
Il punto $z_0$ è uno zero d'ordine $nu$ per $f$ in $Omega$ se e solo se:
\[
\lim_{z\to z_0} \frac{f(z)}{(z-z_0)^n} = \begin{cases} 0 &\text{, se } 0\leq n < \nu \\ l \in \mathbb{C}\setminus \{0\} &\text{, se } n=\nu \\ \infty &\text{, se } n>\nu \end{cases}
\]
(ovviamente $n in NN$), ossia se esiste un $l!=0$ tale che $f(z) = l*(z-z_0)^nu + text(o)( (z - z_0)^nu)$ per $z -> z_0$.
Se $Omega$ è un aperto connesso, $f$ ha uno zero d'ordine infinito in $z_0 in Omega$ se e solo se $f(z)=0$ identicamente in $Omega$.
Si dice che $oo$ è uno zero di $f$ se e solo se la funzione ausiliaria:
\[
g(w) := f\left( \frac{1}{w}\right)
\]
ha uno zero in $w_0=0$, i.e. se $g(0)=0$.
Si dice che $oo$ è uno zero d'ordine $nu$ per $f$ se e solo se $g$ ha uno zero d'ordine $nu$ in $w_0=0$.
Il punto $oo$ è uno zero d'ordine $nu$ per $f$ se e solo se:
\[
\begin{cases}
c_{-\nu} \neq 0 \\
f(z) = \sum_{n=\nu}^\infty c_{-n}\ \frac{1}{z^n} \text{, per ogni } z \in \Omega \text{ con $|z|>R>0$}
\end{cases}\; .
\]
Il punto $oo$ è uno zero d'ordine $nu$ per $f$ se e solo se:
\[
\lim_{z\to \infty} z^n \cdot f(z) = \begin{cases} 0 &\text{, se } 0\leq n < \nu \\ l \in \mathbb{C}\setminus \{0\} &\text{, se } n=\nu \\ \infty &\text{, se } n>\nu \end{cases}
\]
(ovviamente $n in NN$), cioè se esiste $l != 0$ tale che $f(z) = l/z^nu + text(o)(1/z^nu)$ per $z -> oo$.
Se $z_0 in CC uu \{ oo \}$ è uno zero per due funzioni olomorfe $f_1$ ed $f_2$ d'ordine, rispettivamente, $nu_1$ e $nu_2$ allora:
- $f_1+-f_2$ ha in $z_0$ uno zero d'ordine $nu >= min \{ nu_1, nu_2\}$;
- $f_1*f_2$ ha in $z_0$ uno zero d'ordine $nu = nu_1+nu_2$;
- $f_1^p$ ($p in NN \setminus \{ 0\}$) ha in $z_0$ uno zero d'ordine $nu = p nu_1$.
20/03/2019, 17:44
Il punto $z_0$ si chiama singolarità isolata per $f$ se esso è un punto isolato della frontiera $partial Omega$, ossia se esiste un intorno circolare forato $D^\prime (z_0; r) = D(z_0,r) \setminus \{ z_0\}$ tutto contenuto in $Omega$.
Sia $z_0$ una singolarità isolata di $f$.
Esistono un disco forato $D^\prime (z_0;r) subseteq Omega$ ed un'unica successione bilatera $(c_n)_(n in ZZ) subset CC$ tali che:
\[
\tag{L}
\begin{split}
f(z) &= \sum_{n=-\infty}^\infty c_n\ (z-z_0)^n \\
&= \underbrace{\sum_{n=0}^\infty c_n\ (z-z_0)^n}_{=: f_R(z)} + \underbrace{\sum_{n=1}^\infty c_{-n}\ \frac{1}{(z-z_0)^n}}_{=: f_S (z)}
\end{split}
\]
per ogni $z in D^\prime (z_0;r)$, con convergenza uniforme in ogni corona circolare $r_1<|z-z_0|<r_2$ "ben contenuta" in $D^\prime (z_0;r)$ (ossia con raggi $0<r_1<r_2<r$).
Il punto singolare isolato $z_0$ è detto:
- singolarità eliminabile per $f$ se e solo se $f_S (z)=0$ in $D^\prime (z_0;r)$;
- singolarità polare (o, semplicemente, polo) per $f$ d'ordine $nu$ se e solo se esiste $nu in NN \setminus \{ 0\}$ tale che:
\[
\begin{cases}
c_{-\nu} \neq 0 \\
f_S(z) = \sum_{n=1}^\nu c_{-n}\ \frac{1}{z^n}\quad \text{ in } D^\prime (z_0;r)
\end{cases}\; ,
\]
ossia se la parte singolare di $f$ contiene la potenza $1/(z-z_0)^nu$ e non contiene potenze di $1/(z-z_0)$ con esponente maggiore di $nu$;- singolarità essenziale per $f$ se e solo se $z_0$ non è né eliminabile né polare, cioè se e solo se la parte singolare di $f$ in $z_0$ contiene infinite potenze negative di $1/(z-z_0)$.
Il punto singolare isolato $z_0$ è:
- una singolarità eliminabile per $f$ se e solo se il \(\lim_{z\to z_0} f(z) \) esiste finito in $CC$;
- una singolarità polare per $f$ se e solo se \(\lim_{z\to z_0} f(z) = \infty\); in particolare $z_0$ è un polo di ordine $nu$ se e solo se:
\[
\lim_{z\to z_0} (z - z_0)^n\cdot f(z) = \begin{cases} \infty &\text{, se } 0\leq n < \nu \\ l \in \mathbb{C}\setminus \{ 0\} &\text{, se } n = \nu \\ 0 &\text{, se } n>\nu \end{cases}\; ,
\]
ossia se $f(z) = 1/(z - z_0)^nu + text(O)(1/(z - z_0)^nu)$ per $z -> z_0$;- una singolarità essenziale per $f$ se il limite \(\lim_{z\to z_0} f(z)\) non esiste in $CC uu \{ oo\}$.
Il punto $oo$ è una singolarità isolata per $f$ se e solo se $0$ è una singolarità isolata per $g$, ciò equivale a dire che $Omega$ contiene tutta la regione esterna ad un cerchio chiuso di centro $0$.
Sia $oo$ una singolarità isolata di $f$.
Esistono un disco forato $D (0;r)$ ed un'unica successione bilatera $(c_n)_(n in ZZ) subset CC$ tali che:
\[
\tag{L}
\begin{split}
f(z) &= \sum_{n=-\infty}^\infty c_n\ z^n \\
&= \underbrace{\sum_{n=0}^\infty c_{-n}\ \frac{1}{z^n}}_{=: f_r(z)} + \underbrace{\sum_{n=1}^\infty c_n\ z^n}_{=: f_s (z)}
\end{split}
\]
per ogni $z in CC\setminus D (0;r)$, con convergenza uniforme fuori da ogni cerchio $|z-z_0|<r_1$ con raggio $r_1 > r$).
Il punto singolare isolato $oo$ è detto:
- singolarità eliminabile per $f$ se e solo se $f_s(z)=0$ in $CC \setminus D(0;r)$, ossia se lo sviluppo di Laurent di $f$ intorno a $oo$ non contiene nessuna potenza di $z$;
- singolarità polare (o, semplicemente, polo) per $f$ d'ordine $nu$ se e solo se esiste $nu in NN \setminus \{ 0\}$ tale che:
\[
\begin{cases}
c_\nu \neq 0 \\
f_s(z) = \sum_{n=1}^\nu c_n\ z^n\quad \text{ in } \mathbb{C}\setminus D(0;r)
\end{cases}\; ,
\]
ossia se la parte singolare di $f$ contiene la potenza $z^nu$ e non contiene potenze di $z$ con esponente maggiore di $nu$;- singolarità essenziale per $f$ se e solo se $oo$ non è né eliminabile né polare, cioè se e solo se la parte singolare di $f$ in $z_0$ contiene infinite potenze di $z$.
Il punto singolare isolato $oo$ è:
- una singolarità eliminabile per $f$ se e solo se il \(\lim_{z\to \infty} f(z) \) esiste finito in $CC$;
- una singolarità polare per $f$ se e solo se \(\lim_{z\to \infty} f(z) = \infty\); in particolare $z_0$ è un polo di ordine $nu$ se e solo se:
\[
\lim_{z\to \infty} \frac{1}{z^n}\cdot f(z) = \begin{cases} \infty &\text{, se } 0\leq n < \nu \\ l \in \mathbb{C}\setminus \{ 0\} &\text{, se } n = \nu \\ 0 &\text{, se } n>\nu \end{cases}\; ,
\]
ossia se $f(z) = z^nu + text(O) (z^nu)$ per $z -> oo$;- una singolarità essenziale per $f$ se il limite \(\lim_{z\to \infty} f(z)\) non esiste in $CC uu \{ oo\}$.
Siano $f_1$ ed $f_2$ funzioni olomorfe in $Omega$ e sia $z_0$ un punto singolare per entrambe.
- Se $f_1$ ed $f_2$ hanno entrambe singolarità eliminabili in $z_0$, allora $f_1 +- f_2$ ha una singolarità eliminabile in $z_0$;
- se:
allora $f_1 +- f_2$ ha polo in $z_0$ d’ordine $nu = nu_1$ (caso a) o $nu = max \{ nu_1, nu_2\}$ (caso b);
- $f_1$ ha un polo d’ordine $nu_1$ ed $f_2$ ha una singolarità eliminabile in $z_0$, oppure
- $f_1$ ed $f_2$ hanno poli d’ordini $nu_1 != nu_2$ in $z_0$,
- se $f_1$ ha una singolarità essenziale ed $f_2$ ha una singolarità polare od eliminabile in $z_0$, allora $f_1 +- f_2$ ha una singolarità essenziale in $z_0$;
- nulla si può dire, in generale, se $f_1$ ed $f_2$ hanno entrambe poli dello stesso ordine o entrambe singolarità essenziali in $z_0$.
Siano $f_1$ ed $f_2$ funzioni olomorfe in $Omega$ e sia $z_0$ un punto singolare per entrambe.
- Se:
allora $f_1 * f_2$ ha una singolarità eliminabile in $z_0$;
- $f_1$ ed $f_2$ hanno entrambe singolarità eliminabili in $z_0$, oppure
- $f_1$ ha un polo d’ordine $nu_1$ in $z_0$ ed $f_2$ ha una singolarità eliminabile che è uno zero d’ordine $nu_2 >= nu_1$,
- se:
allora $f_1 * f_2$ ha polo in $z_0$ d’ordine $nu = nu_1$ (caso a), $nu = nu_1 - nu_2$ (caso b) ovvero $nu = nu_1 + nu_2$ (caso c);
- $f_1$ ha un polo d’ordine $nu_1$ ed $f_2$ ha una singolarità eliminabile in $z_0$ che non è uno zero, oppure
- $f_1$ ha un polo d’ordine $nu_1$ ed $f_2$ ha una singolarità eliminabile in $z_0$ che è al più uno zero d’ordine $nu_2 < nu_1$, oppure
- $f_1$ ed $f_2$ hanno poli d’ordini $nu_1$ e $ nu_2$ in $z_0$,
- se $f_1$ ha una singolarità essenziale ed $f_2$ ha una singolarità polare od eliminabile in $z_0$ che non è uno zero d’ordine infinito, allora $f_1 * f_2$ ha una singolarità essenziale in $z_0$.
Siano $f_1$ una funzione olomorfa in $Omega$, $p in NN \setminus \{0\}$ e $z_0$ un punto singolare isolato per $f_1$.
La funzione $f_1^p$ ha in $z_0$ lo stesso tipo di singolarità che vi ha $f_1$; in particolare, se $f_1$ ha in $z_0$ un polo d’ordine $nu_1$, allora $f_1^p$ ha in tal punto un polo d’ordine $nu = p*nu_1$.
28/03/2019, 19:28
Se $z_0$ è uno zero d'ordine $nu in NN \setminus \{0\}$ per $f$ in $Omega$, allora $z_0$ è un polo d'ordine $nu$ per $1/f$.
Se $z_0$ è una singolarità polare d'ordine $nu in NN \setminus \{0\}$ per $1/f$, il punto $z_0$ è uno zero d'ordine $nu$ per $f$ in $Omega$.
Se $z_0$ è uno zero d'ordine $nu in NN \setminus \{0\}$ per $1/f$ in $Omega^\prime$, allora $z_0$ è un polo d'ordine $nu$ per $f$.
Se $z_0$ è una singolarità polare d'ordine $nu in NN \setminus \{0\}$ per $f$, il punto $z_0$ è uno zero d'ordine $nu$ per $1/f$ in $Omega^\prime$.
La $f$ ha in $z_0$ uno zero isolato [risp. un polo] d'ordine $nu$ se e solo se $1/f$ ha in $z_0$ un polo [risp. uno zero isolato] d'ordine $nu$.
Teorema sulla Compensazione degli Ordini:
Siano $f_1,f_2:\Omega -> CC$ olomorfe e $z_0 in Omega$ uno zero isolato d'ordine $nu_2$ di $f_2$ in $Omega$.
La funzione $f_1/f_2$ (definibile ed olomorfa almeno in un intorno forato di $z_0$) ha in $z_0$:
- una singolarità eliminabile che è uno zero d'ordine $nu_1-nu_2$ se $z_0$ è uno zero isolato d'ordine $nu_1 > nu_2$ per $f_1$ in $Omega$;
- una singolarità eliminabile che non è uno zero se $z_0$ è uno zero d'ordine $nu_1=nu_2$ per $f_1$ in $Omega$;
- un polo d'ordine $nu_2-nu_1$ se $z_0$ è uno zero d'ordine $1<= nu_1 <nu_2$ per $f_1$ in $Omega$;
- un polo d'ordine $nu_2$ se $z_0$ non è uno zero di $f_1$.
Skuola.net News è una testata giornalistica iscritta al Registro degli Operatori della Comunicazione.
Registrazione: n° 20792 del 23/12/2010.
©2000—
Skuola Network s.r.l. Tutti i diritti riservati. — P.I. 10404470014.
Powered by phpBB © phpBB Group - Privacy policy - Cookie privacy
phpBB Mobile / SEO by Artodia.