19/02/2024, 14:27
NIcholasGiovs ha scritto:Per quanto riguarda il cos(x) credo di doverlo trasformare in forma esponenziale
NIcholasGiovs ha scritto:ma per quanto riguarda il polinomio non so proprio come comportarmi.
20/02/2024, 16:40
pilloeffe ha scritto:NIcholasGiovs ha scritto:Per quanto riguarda il cos(x) credo di doverlo trasformare in forma esponenziale
Esatto...NIcholasGiovs ha scritto:ma per quanto riguarda il polinomio non so proprio come comportarmi.
Puoi procedere integrando per parti, oppure si può dimostrare (ma non è proprio semplicissimo... ) che si ha:
\begin{equation}
\boxed{I_{n}(\alpha, \beta) = \int_{-\infty}^{+\infty}x^n\:e^{-\alpha x^2 + \beta x}dx = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\:e^{\frac{{\beta}^2}{4\alpha}}\sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor}\frac{n!}{k!(n - 2k)!}\:\bigg(\frac{1}{4\alpha}\bigg)^{n-k}(2\beta)^{n-2k}}
\label{intGauss:In(alfa,beta)def}
\end{equation}
od anche:
\begin{equation}
\boxed{I_{n}(\alpha, \beta) = \int_{-\infty}^{+\infty}x^n\:e^{-\alpha x^2 + \beta x}dx = \frac{1}{2^{n}} \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\:e^{\frac{{\beta}^2}{4\alpha}}\sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor}\frac{n!}{k!(n - 2k)!}\:{\alpha}^{k-n}\:{\beta}^{n-2k}}
\label{intGauss:In(alfa,beta)elab}
\end{equation}
oppure ancora:
\begin{equation}
\boxed{I_{n}(\alpha, \beta) = \int_{-\infty}^{+\infty}x^n\:e^{-\alpha x^2 + \beta x}dx = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\:e^{\frac{{\beta}^2}{4\alpha}}\sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor}{n \choose 2k}\:(2k - 1)!!\:(2\alpha)^{k-n}{\beta}^{n-2k}}
\label{intGauss:In(alfa,beta)coeffbin}
\end{equation}
ove $\text{Re}[\alpha] = a > 0$, $\beta \in \CC_{-0}$, essendo $\CC_{-0} := \CC - {0} $
20/02/2024, 18:03
NIcholasGiovs ha scritto:Ad esempio, con $f(x)=(x^2)exp(−x+1)$ cosa devo fare?
20/02/2024, 19:33
20/02/2024, 20:24
NIcholasGiovs ha scritto:ma nell'integrale che hai scritto non vedo $x^2$ che moltiplica l'esponente, è un errore di battitura?
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