25/02/2024, 15:08
25/02/2024, 15:51
25/02/2024, 16:09
25/02/2024, 16:10
25/02/2024, 16:28
pilloeffe ha scritto: $z = x + iy = (X + iY)/(1 - Z) $
25/02/2024, 17:20
andreadel1988 ha scritto:ma la proiezione stereografica rispetto al polo sud
pilloeffe ha scritto:
${(X = (2x)/(|z|^2 + 1)), (Y = (2y)/(|z|^2 + 1)), (Z = (|z|^2 - 1)/(|z|^2 + 1)):} \iff z = x + iy = (X + iY)/(1 - Z)$
25/02/2024, 18:10
pilloeffe ha scritto:Quelle che hai scritto poi mi sembrano le trasformazioni per il polo nord...
andreadel1988 ha scritto:ma la proiezione stereografica rispetto al polo sud non è non è $(X+iY)/(Z+1)$ ?
25/02/2024, 18:32
andreadel1988 ha scritto:Consideriamo $S^2$ con le due proiezioni stereografiche rispettivamente togliendo il polo nord e il polo sud, trovare la funzione di incollamento che si ottiene attraverso la definizione di superficie riemanniana con le due carte date dalle due proiezioni.
Chiamiamo $\varphi_1$ la proiezione stereografica da $S^2\\{N}$ a $\mathbb{C}$ e $\varphi_2$ la proiezione stereografica da $S^2\\{S}$ a $\mathbb{C}$, abbimao che la mappa di incollamento è definita da $(\varphi_1)^-1 \circ \varphi_2 :\mathbb{C^*->C^*}$, ma allora preso $z=x+iy \in C^*$, ricordando che $(\varphi_1)^-1(x,y)=(\frac{2x}{1+x^2+y^2},\frac{2y}{1+x^2+y^2},\frac{-1+x^2+y^2}{1+x^2+y^2})$ e $\varphi_2(x,y,z)=(\frac{x}{z+1},\frac{y}{z+1})$ si ha $(\varphi_1)^-1 \circ \varphi_2 (z)=(\frac{x}{x^2+y^2},\frac{x}{x^2+y^2})=\frac{z}{|z|^2}=1/ \bar z$. MA da come ho visto in altre parti il risultato dovrebbe essere $1/z$, cos è sbagliato?"
25/02/2024, 21:03
pilloeffe ha scritto:ma mi risulta solo
$ Z = t - 1 = 2/(|z|^2 + 1) - 1 = (1 - |z|^2)/(|z|^2 + 1) = - (|z|^2 - 1)/(|z|^2 + 1)$
pilloeffe ha scritto:$z = x + iy = X(|z|^2 + 1)/2 + i Y(|z|^2 + 1)/2 = (X + iY)/(2/(|z|^2 + 1)) = (X + iY)/(Z + 1)$
26/02/2024, 00:28
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