Darius00 ha scritto:ho capito perfettamente che ha poco senso usare il teorema dei residui per svolgere questo integrale
No, temo che tu abbia capito male: quella formula che ti ho scritto nel mio post precedente deriva proprio dall'applicazione del
Teorema dei residui...
Prendiamo l'integrale proposto e riscriviamolo con un opportuno cambiamento di variabile:
$ \int_0^{+\infty} (\text{d}x)/(x^(1/3)(x+4)) = \int_0^{+\infty} 1/(x^(1/3)(x/4+1)) \text{d}(x/4) = 1/ 4^{1/3} \int_0^{+\infty} 1/((x/4)^(1/3)(x/4+1)) \text{d}(x/4) = $
$ = 1/4^{1/3} \int_0^{+\infty} (\text{d}t)/(t^(1/3)(t+1)) $
Consideriamo solo l'ultimo integrale ed applichiamo la formula che ti ho scritto nel mio post precedente che si ottiene applicando il teorema dei residui, tanto per verificare la correttezza del risultato; poi applicheremo il teorema dei residui sul percorso "alla pacman" che puoi trovare in uno dei link del mio post precedente, così potrai renderti conto che si ottiene il medesimo risultato.
$ 1/4^{1/3} \int_0^{+\infty} (\text{d}t)/(t^{1/3}(t+1)) = 1/4^{1/3} \int_0^{+\infty} (t^{-1/3})/(t+1) \text{d}t $
Ovviamente quest'ultimo integrale si può risolvere con la formula che ti ho già scritto nel mio post precedente con $q = 1 > p = 2/3 > 0 $ e si ha:
$ 1/4^{1/3} \int_0^{+\infty} (t^{-1/3})/(t+1) \text{d}t = 1/4^{1/3} \cdot (\pi)/(sin((2\pi)/3)) = 1/4^{1/3} \cdot (2 \pi)/(\sqrt3) = (8^{1/3} \pi)/(4^{1/3}\sqrt3) = (2^{1/3}\pi)/3^{1/2}$
che corrisponde al risultato che hai scritto nell'OP.
Ora facciamo vedere che applicando il teorema dei residui ed integrando sul percorso che abbiamo citato si ottiene il medesimo risultato. Teniamo indicata la $p$ per comodità di scrittura e consideriamo l'integrale seguente:
$ \oint_gamma z^{p - 1}/(z + 1) \text{d}z $
All'interno del percorso la funzione integranda ha il solo polo $z = - 1 $. Il residuo nel polo semplice $z = - 1 = e^{i\pi} $ è il seguente:
$\lim_{z \to - 1} (z + 1) e^{i(p - 1)\pi}/(z + 1) = e^{i(p - 1)\pi}$
Quindi si ha:
$ \oint_gamma z^{p - 1}/(z + 1) \text{d}z = 2\pi i e^{i(p - 1)\pi} $
Esplicitando si ha:
$\int_r^R x^{p - 1}/(x + 1) \text{d}x + \int_0^{2\pi}\frac{(Re^{i\theta})^{p - 1} iR e^{i\theta} }{Re^{i\theta} + 1} \text{d}\theta + \int_R^r (x e^{2\pi i})^{p - 1}/(x e^{2\pi i} + 1) \text{d}x + \int_{2\pi}^0 \frac{(r e^{i\theta})^{p - 1} i r e^{i\theta} }{r e^{i\theta} + 1} \text{d}\theta = 2\pi i e^{i(p - 1)\pi} $
Facendo il $\lim_{r \to 0} $ ed il $\lim_{R \to +\infty} $ e notando che il secondo ed il quarto integrale tendono a zero, si ha:
$\int_0^{+\infty} x^{p - 1}/(x + 1) \text{d}x + \int_{+\infty}^0 (e^{2\pi i(p - 1)} x^{p - 1})/(x + 1) \text{d}x = 2\pi i e^{i(p - 1)\pi} $
ovvero
$(1 - e^{2\pi i(p - 1)}) \int_0^{+\infty} x^{p - 1}/(x + 1) \text{d}x = 2\pi i e^{i(p - 1)\pi} $
sicché si ha:
$ \int_0^{+\infty} x^{p - 1}/(x + 1) \text{d}x = (2\pi i e^{i(p - 1)\pi})/(1 - e^{2\pi i(p - 1)}) = (2\pi i)/(e^{i p \pi} - e^{- i p \pi}) = \pi/sin(p \pi) $
Quest'ultima scritta non è altro che la formula che ti ho già scritto nel mio post precedente nel caso particolare $q = 1 $