Ciao Darius00,
Darius00 ha scritto:Ora passo a $ \hat(psi)(k)=int_{-infty}^{infty}e^(-ikx)/(x^2+1)dx $ ma non ho la più pallida idea di come risolverlo...
In realtà è una trasformata di Fourier abbastanza standard, potresti dare un'occhiata all'esempio qui:
https://it.wikipedia.org/wiki/Trasformata_di_FourierPiù in generale si può calcolare l'integrale seguente:
$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{i \omega x}/(x^2 + a^2) \text{d}x $
con $a > 0 $
Consideriamo la funzione $g(z) := e^{i \omega z}/(z^2 + a^2) $: essa ha due poli semplici nei punti $z = ia $ e $z = - ia $, con residui rispettivamente $ e^{-a\omega}/(2 i a) $ e $- e^{a\omega}/(2 i a) $.
Sia dapprima $\omega \ge 0 $. Ponendoci nel semipiano $\text{Im}(z) \ge 0 $ si ha $|e^{i \omega z}| = e^{- \omega y} \le 1 $ e dunque per $|z| > a $ si ha:
$|z g(z)| \le |z|/(|z^2 + a^2|) \le |z|/(|z|^2 - a^2) $
e $\lim_{|z| \to +\infty} |z g(z)| = 0 $
Se dunque $C_R $ è la semicirconferenza $z = R e^{i \theta} $, $0 \le \theta \le \pi $ contenuta nel semipiano indicato, se $R > a $ si ha:
$\int_{- R}^R e^{i \omega x}/(x^2 + a^2) \text{d}x + \int_{C_R} e^{i \omega z}/(z^2 + a^2) \text{d}z = 2\pi i e^{-a\omega}/(2 i a) = (\pi/a) e^{-a\omega}$
Per $R\to +\infty $ dunque si ottiene
$\int_{- \infty}^{+\infty} e^{i \omega x}/(x^2 + a^2) \text{d}x = (\pi/a) e^{-a\omega}$
In modo del tutto analogo, se $\omega < 0 $ utilizzando la semicirconferenza di centro l'origine e raggio $R > a $ contenuta nel semipiano $\text{Im}(z) < 0 $, per $R \to +\infty $ si ottiene
$\int_{- \infty}^{+\infty} e^{i \omega x}/(x^2 + a^2) \text{d}x = (\pi/a) e^{a\omega}$
In definitiva $\forall \omega \in \RR $ si ha:
$\int_{- \infty}^{+\infty} e^{i \omega x}/(x^2 + a^2) \text{d}x = (\pi/a) e^{- a|\omega|}$
Il risultato ottenuto mostra che l'integrale in questione è una funzione pari di $\omega $ (a dire il vero questa proprietà poteva essere notata sull'integrale stesso prima ancora di calcolarlo). Dunque ponendo $-\omega $ al posto di $\omega $ si ha:
\begin{equation*}
\boxed{\int_{- \infty}^{+\infty} \dfrac{e^{- i \omega x}}{x^2 + a^2} \text{d}x = \dfrac{\pi}{a} e^{- a|\omega|}}
\end{equation*}
Nel caso particolare $a = 1 > 0 $ quest'ultimo integrale rappresenta proprio la trasformata di Fourier della funzione $1/(x^2 + 1) $