E' vero, per noi matematici moltiplicare e dividere i differenziali tra loro non ha nessun significato, ed e' matematicamente scorretto. La teoria dei limiti della scuola di Cauchy ha definitivamente risolto il problema dei fondamenti dell'Analisi Matematica. Ma le idee che stanno alla base del calcolo rimangono, tant'e' che il nome e' rimasto: calcolo differenziale significa calcolare i differenziali, cosi' come calcolo infinitesimale significa calcolare gli infinitesimi, ovvero lavorare con gli o piccolo, come diremmo oggi. Queste computazioni puramente formali pero' hanno il pregio di fornire il punto di arrivo corretto. Ad esempio, se io devo trovare una formula che mi dia la derivata di una funzione composta z(x)=z(y(x)), allora formalmente scrivo dz/dx=dz/dy dy/dx, moltiplicando e dividendo per dy, facendo finta che i differenziali siano proprio delle variazioni infinitesime della funzione considerata. Questo modo di procedere non ha fondamento, ma le cose, se l'intuito non inganna, devono andare cosi'. Ecco che ho scoperto che cosa devo dimostrare. Ora, grazie alla teoria dei limiti, questo lo posso dimostrare correttamente, proprio come ha scritto il nostro collega Fireball, scrivendo i rapporti incrementali e poi passando al limite. La stessa identica cosa vale per la risoluzione di un' equazione differenziale a variabili separabili: equazione della forma y'(t)=a(y(t))b(t). Uno divide per a(y(t)) entrambi i membri e poi osserva che y'(t)dt=dy, e integra i due membri in dt. Allora uno intuisce la formula risolutiva, e poi dimostra che effettivamente la formula risolutiva e' corretta e porta alla soluzione dell'equazione. La dimostrazione non e' poi cosi' diversa dal ragionamento fatto sopra: il passaggio y'(t)dt=dy viene sostituito da un'applicazione del Teorema di sostituzione per integrali definiti.
Luca77
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