da unvecchietto » 19/02/2017, 16:49
Ciao MrEngineer , allora la nostra funzione è:
$f(x,y) = x4+y4−8(x^2+y^2)$
La funzione è di classe $ C^\infty $ su $ RR^2 $
Calcoliamo le derivate parziali prime per vedere dove il gradiente $\nabla f(x,y) $ si annulla
$(delf(x,y))/(delx) = 4x(x^2-4) $
$(delf(x,y))/(dely) = 4y(y^2-4) $
impostiamo il sistema
$\{(4x(x^2-4)=0) ,(4y(y^2-4)=0) :}$
da cui ricavo i punti stazionari : $ (0,0) ; (0,2) ; (0,-2) ; (2,0) ; (-2,0) ; (2,2) ; (-2,2) ; (2,-2) ; (-2,-2) $
Calcolo le derivate parziali seconde:
$(delf(x,y))/(delxdelx) = 4(3x^2-4) $
$(delf(x,y))/(delxdely) = 0 = (delf(x,y))/(delydelx)$
$(delf(x,y))/(delydely) = 4(3y^2-4) $
Costruiamo l'Hessiano
$Hf(x,y)=$ $[[4(3x^2-4),0],[0,4(3y^2-4)]]$
il cui determinante è
$det[Hf(x,y)] = 16(3x^2-4)(3y^2-4) $
Sostituiamo il valore di ogni punto nel determinante per stabilirne la natura.
Otterremo che il punto $ (0,0) $ sarà di massimo locale , i punti $(0,2) ; (0,-2) ; (2,0) ; (-2,0) $ saranno di sella , mentre i punti $ (2,2) ; (-2,2) ; (2,-2) ; (-2,-2) $ saranno di minimo locale.
Abbiamo così studiato la funzione in tutto il suo dominio. La seconda parte dell'esercizio ci specifica una restrizione su cui proseguire lo studio $ T={(x,y)∈R^2:x^2+y^2≤9}$ , ovvero su una circonferenza centrata nell'origine di raggio 3. L'insieme $T$ inoltre sappiamo essere chiuso e limitato , per il teorema di Heine–Borel sarà dunque compatto , quindi per Weierstrass ammetterà massimo e minimo assoluto
Si può notare facilmente che tutti i punti trovati fin'ora , si trovano all'interno della circonferenza stessa , dunque proseguiamo lo studio unicamente sul bordo.
indichiamo con $ delT={(x,y)∈R^2:x^2+y^2=9} $ la frontiera della nostra circonferenza , ora potremo proseguire in modi differenti, parametrizzando la nostra curva oppure considerando il Lagrangiano risolvendoci il rispettivo sistema.
In questo caso procediamo con la parametrizzazione della circonferenza:
Considero la parametrizzazione $\{(x=Rcos(t)),(y=Rsin(t)):}$ dove R è raggio della nostra circonferenza
ovvero:
$\{(x=3cos(t)),(y=3sin(t)):}$ $t∈ [0,2\pi)$
considereremo allora la funzione $ h(t)=f(3cos(t),3sin(t))= (3cos(t))^4+(3sin(t))^4-8(cos^2(t)+sin^2(t)) $
sistemiamo la funzione $ h(t) $ e ne studieremo la derivata prima.
$h(t) = 81(cos^4(t)+sin^4(t))-8 $
$h'(t)= 81(4cos^3(t)sin(t)+4sin^3(t)cos(t))= 81(4cos(t)sin(t)*(cos^2(t)sin^2(t)) = 81(4cos(t)sin(t)) $
Dallo studio del segno $h'(t)= 81(4cos(t)sin(t)) >0 $ ricaviamo i punti di massimo e minimo per la funzione $h(t)$ ovvero
$ \pi/2 ; \pi ; 3\pi/2 ; 0 $
Sotituiamo questi valori trovati nella parametrizzazione $\{(x=3cos(t)),(y=3sin(t)):}$
così da trovarci i valori $(x,y) $ relativi alla funzione $ f(x,y) $
otterremo così i punti
$ P1 (3cos(\pi/2), 3sin(\pi/2) ) ; P2 (3cos(\pi),3sin(\pi)) ; P3 (3cos(3\pi/2),3sin(3\pi/2)) ; P4 (3cos(0),3sin(0)) $
Ovvero: $ P1 (0,3) ; P2 (-3,0) ; P3 (0,-3) ; P4(3,0) $
Basterà adesso sostituire tutti questi punti ed i precedenti ( ovviamente non considereremo i punti di sella trovati
precedentemente ) in $f(x,y)$ e vedere quale dei punti assume valore più grande e più piccolo
Otterremo così che i punti $ (2,2) ; (-2,2) ; (2,-2) ; (-2,-2) $ saranno di Minimo Assoluto
mentre i punti $ P1 (0,3) ; P2 (-3,0) ; P3 (0,-3) ; P4(3,0) $ saranno di Massimo Assoluto