i) Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita su $\mathbb{K}$ e sia $phi$ un funzionale lineare non nullo su $V$. Determinare la dimensione di \(\displaystyle \ker\phi \).
Siccome fissata una base $V$ è isomorfo a $\mathbb{K}^n$ per $n$ opportuno, risulta \(\displaystyle \phi: \mathbb{K}^n\rightarrow \mathbb{K} \) e vale la formula \(\displaystyle \dim\mathbb{K}^n=n=\dim\Im \phi+\dim\ker\phi \). Siccome \(\displaystyle \Im\phi\subseteq\mathbb{K} \) si ha \(\displaystyle 0\le\dim\Im\phi\le 1 \), cioè necessariamente \(\displaystyle \dim\Im\phi=1 \) poiché \(\displaystyle \phi \) non è il funzionale nullo. Quindi \(\displaystyle \dim\ker\phi=n-1 \).
ii-iii) Siano \(\displaystyle \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 \) due vettori l.i. di \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) (risp. \(\displaystyle \mathbb{C}^n \)). Qual è la dimensione dello spazio ortogonale ad essi?
Ho condensato in un unico punto due esercizi distinti in cui cambia lo spazio vettoriale assegnato. Tuttavia in entrambi i casi \(\displaystyle \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 \) generano un sottospazio $W$ di dimensione due, e vale \(\displaystyle n=\dim W+\dim W^{\bot} \). Sarebbe sbagliato concludere che in entrambi i casi \(\displaystyle \dim W^{\bot}=n-2 \)? Mi sembra strano mettere due esercizi identici di fila
iv) Sia $V$ uno spazio di dimensione $n$ su \(\displaystyle \mathbb{K} \) e \(\displaystyle \phi,\psi\in V^* \) non nulli tali che non esista \(\displaystyle \alpha\in\mathbb{K} \) diverso da zero per cui si abbia \(\displaystyle \psi=\alpha\phi\) . Mostrare che \(\displaystyle \dim(\ker\phi\cap\ker\psi)=n-2 \).
Scelta una base \(\displaystyle \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_n\} \) di $V$, esistono unici due vettori \(\displaystyle \Phi, \Psi \in\mathbb{K}^n\) tali che \[\displaystyle \phi(\mathbf{v})=\langle\Phi,\mathbf{v}\rangle, \quad \psi(\mathbf{v})=\langle\Psi,\mathbf{v}\rangle \] La condizione \(\displaystyle \psi(\mathbf{v})\ne\alpha\phi(\mathbf{v}) \) implica che \(\displaystyle \Phi, \Psi \) sono linearmente indipendenti, ovvero generano un sottospazio \(\displaystyle U \) tale che \(\displaystyle \dim U=2 \). Se \(\displaystyle \mathbf{v}\in\ker\phi\cap\ker\psi \), allora \(\displaystyle \langle\Phi,\mathbf{v}\rangle=\langle\Psi,\mathbf{v}\rangle=0 \), cioè \(\displaystyle \mathbf{v} \) è ortogonale ad entrambi tali vettori e quindi \(\displaystyle \mathbf{v}\in U^{\bot} \). La tesi segue dalla formula \[\displaystyle \dim(\ker\phi\cap\ker\psi)=\dim U^{\bot}=\dim V -\dim U=n-2 \] Questo esercizio mi ha bloccato per diverso tempo perché non avevo letto il non nelle ipotesi! Per divertimento riporto anche questo altro caso
iv bis) Dal punto i) segue \(\displaystyle \dim\ker\phi=\dim\ker\psi=n-1 \). Dalla relazione di Grassmann si ha \[\displaystyle \dim(\ker\phi\cap\ker\psi)=\dim\ker\phi+\dim\ker\psi-\dim(\ker\phi+\ker\psi)=2n-2-\dim(\ker\phi+\ker\psi) \] Il problema si riduce quindi a trovare la dimensione di \(\displaystyle \dim(\ker\phi+\ker\psi) \). Sia \(\displaystyle \mathbf{v}\in\ker\phi\); allora \(\displaystyle \psi(\mathbf{v})=\alpha\phi(\mathbf{v})=0_K \) ovvero \(\displaystyle \mathbf{v}\in\ker\psi \). Di conseguenza scelta una base di \(\displaystyle \ker\phi \) automaticamente viene fissata una base identica di \(\displaystyle \ker\psi \) e lo spazio somma ha dimensione $n-1$, da cui anche \(\displaystyle \dim(\ker\phi\cap\ker\psi)=n-1 \).
Funziona? Grazie a tutti in anticipo!
(credo si faccia per assurdo)!